(2,5 pts) Calcule \iiint \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V onde E é o sólido que está abaixo do paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} e acima do plano z=0.
Boa Prova!!!

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV
onde E é o sólido que está abaixo do paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} e acima do plano z=0. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A superfície superior é z=9-x^{2}-y^{2}.
  • A superfície inferior é z=0.
  • A região de projeção no plano xy é dada pelos pontos (x,y) tais que 9-x^{2}-y^{2}\ge 0, ou seja pela circunferência x^{2}+y^{2}\le 9.
  • A integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Por que mudar de coordenadas? Aqui a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} e a projeção circular x^{2}+y^{2}\le 9 sugerem usar coordenadas cilíndricas (ou polares para (x,y)). Vou explicar como funcionam essas coordenadas e por que elas ajudam.
Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) com as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
O significado de cada variável:
  • \;r\ge 0 é a distância do ponto ao eixo z (ou seja \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},).
  • \;\theta é o ângulo polar no plano xy.
  • \;z continua sendo a altura.
Quando fazemos essa mudança, o elemento de volume dV se transforma em
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Esse fator extra r é o Jacobiano da transformação: intuitivamente é porque um retângulo pequeno em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta. É importante sempre multiplicar pela r ao trocar para cilíndricas.
Também a integranda fica simples: \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r. Então o integrando vezes o jacobiano vira r \cdot r = r^{2}.

Passo 3

Agora vamos descrever os limites da região E em coordenadas cilíndricas.
A superfície superior é z=9-x^{2}-y^{2}. Em coordenadas cilíndricas isso vira
z = 9 - r^{2}.
A superfície inferior é z=0. Portanto z varia entre
0 \le z \le 9 - r^{2}.
A projeção no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le 9, que em coordenadas cilíndricas é
0 \le r \le 3,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
(obs.: obtive r=3 ao resolver 9 - r^{2}=0, isto é r^{2}=9.)

Passo 4

Escrevendo a integral tripla em coordenadas cilíndricas, com a substituição da integranda e do Jacobiano, temos:
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=0}^{9-r^{2}} r\cdot (r\,dz\,dr\,d\theta).
Como explicado, um r vem da integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e outro r vem do jacobiano. Simplificando dentro da integral:
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{9-r^{2}} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em z (é a forma mais direta porque o integrando não depende de z). A integral em z de r^{2} de 0 até 9-r^{2} é simplesmente r^{2} multiplicado pelo comprimento do intervalo em z:
\int_{0}^{9-r^{2}} r^{2}\,dz = r^{2}\bigl[(9-r^{2})-0\bigr] = r^{2}(9-r^{2}).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r^{2}(9-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 6

Agora integramos em r. Primeiro simplifico a função:
r^{2}(9-r^{2}) = 9r^{2}-r^{4}.
Calculo a integral de 0 a 3:
\int_{0}^{3} (9r^{2}-r^{4})\,dr = 9\int_{0}^{3} r^{2}\,dr - \int_{0}^{3} r^{4}\,dr.
Use antiderivadas:
\int r^{2}\,dr = \frac{r^{3}}{3},\qquad \int r^{4}\,dr = \frac{r^{5}}{5}.
Logo
9\cdot\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{3} - \frac{r^{5}}{5}\Big|_{0}^{3} = 3r^{3}\Big|_{0}^{3} - \frac{r^{5}}{5}\Big|_{0}^{3}.
Avalio em r=3:
3\cdot 3^{3} - \frac{3^{5}}{5} = 3\cdot 27 - \frac{243}{5} = 81 - \frac{243}{5}.
Colocando em denominação comum:
81 = \frac{405}{5},\qquad \frac{405}{5}-\frac{243}{5}=\frac{162}{5}.
Portanto
\int_{0}^{3} r^{2}(9-r^{2})\,dr = \frac{162}{5}.

Passo 7

Finalmente integramos em \theta. A integral em \theta de 1 de 0 a 2\pi é 2\pi, então multiplicamos:
\int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \frac{162}{5} = \frac{162}{5}\cdot 2\pi = \frac{324\pi}{5}.
Esse é o valor da integral tripla pedida.

Resposta

\displaystyle \frac{324\pi}{5}

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