(2,5 pts) Calcule \iiint \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V onde E é o sólido que está abaixo do paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} e acima do plano z=0.
Boa Prova!!!
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV
onde E é o sólido que está abaixo do paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} e acima do plano z=0. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A superfície superior é z=9-x^{2}-y^{2}.
A superfície inferior é z=0.
A região de projeção no plano xy é dada pelos pontos (x,y) tais que 9-x^{2}-y^{2}\ge 0, ou seja pela circunferência x^{2}+y^{2}\le 9.
A integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 2
Por que mudar de coordenadas? Aqui a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} e a projeção circular x^{2}+y^{2}\le 9 sugerem usar coordenadas cilíndricas (ou polares para (x,y)). Vou explicar como funcionam essas coordenadas e por que elas ajudam.
Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) com as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
O significado de cada variável:
\;r\ge 0 é a distância do ponto ao eixo z (ou seja \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},).
\;\theta é o ângulo polar no plano xy.
\;z continua sendo a altura.
Quando fazemos essa mudança, o elemento de volume dV se transforma em
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Esse fator extra r é o Jacobiano da transformação: intuitivamente é porque um retângulo pequeno em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta. É importante sempre multiplicar pela r ao trocar para cilíndricas.
Também a integranda fica simples: \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r. Então o integrando vezes o jacobiano vira r \cdot r = r^{2}.
Passo 3
Agora vamos descrever os limites da região E em coordenadas cilíndricas.
A superfície superior é z=9-x^{2}-y^{2}. Em coordenadas cilíndricas isso vira
z = 9 - r^{2}.
A superfície inferior é z=0. Portanto z varia entre
0 \le z \le 9 - r^{2}.
A projeção no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le 9, que em coordenadas cilíndricas é
0 \le r \le 3,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
(obs.: obtive r=3 ao resolver 9 - r^{2}=0, isto é r^{2}=9.)
Passo 4
Escrevendo a integral tripla em coordenadas cilíndricas, com a substituição da integranda e do Jacobiano, temos:
Integramos primeiro em z (é a forma mais direta porque o integrando não depende de z). A integral em z de r^{2} de 0 até 9-r^{2} é simplesmente r^{2} multiplicado pelo comprimento do intervalo em z: