O enunciado pede, para cada uma das funções abaixo, que eu indique para quais domínios elas são bijetoras e que apresente as suas funções inversas. As funções dadas são:
\text{(a) } f(x)=x\cdot|x|
\text{(b) } f(x)=\frac{-3x+1}{x-4}
\text{\text{(c)} } f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+1}
\text{(d) } f(x)=\sqrt{\left|x^{2}-2x+4\right|}
Informações relevantes fornecidas:
Cada função tem domínio natural (os valores de x para os quais a expressão está bem definida). Onde houver raiz quadrada, o radicando deve ser \ge 0. Onde houver divisão, o denominador não pode ser zero.
A tarefa é encontrar subconjuntos do domínio (normalmente intervalos) onde a função seja bijetora (injectiva + sobrejetiva para a imagem considerada) e, para esses domínios, achar a inversa explícita.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação curta e prática):
Uma função é injetora (um-para-um) se valores distintos de entrada dão valores distintos de saída. Em prova, uma forma prática de verificar injetividade é prover uma argumentação algébrica: assumir f(x_1)=f(x_2) e mostrar que daí vem x_1=x_2, ou mostrar monotonicidade estrita num intervalo (função estritamente crescente ou decrescente implica injetividade).
Uma função é sobrejetora em relação a um conjunto-alvo se todo valor desse conjunto-alvo é atingido por algum x do domínio. Normalmente, ao restringir domínio procuramos que a função seja bijetora do domínio escolhido para sua imagem (o contradomínio natural será a imagem/intervalo de valores atingidos).
A inversa f^{-1} existe exatamente quando f é bijetora. Para encontrá-la, resolvemos y=f(x) para x em termos de y, cuidando das restrições de sinal/intervalo que surgirem.
Agora aplicamos isso função a função, com passos detalhados.
Passo 3
Função (a): [\displaystyle f(x)=x\cdot|x|).
Domínio natural: todos os reais, isto é \mathbb{R}, pois x\cdot|x| é definido para todo x\in\mathbb{R}.
Simplificação por casos:
Se x\ge 0, então |x|=x e \displaystyle f(x)=x\cdot x=x^{2}.
Se x<0, então |x|=-x e \displaystyle f(x)=x\cdot(-x)=-x^{2}.
Injetividade (mostrando que não há colisão de valores diferentes):
Para x_1,x_2\ge0\], \[f(x_1)=x_1^2 e f(x_2)=x_2^2; se x_1^2=x_2^2 e ambos são não negativos, então x_1=x_2.
Para x_1,x_2<0, f(x_1)=-x_1^2 e f(x_2)=-x_2^2; se -x_1^2=-x_2^2 então x_1^2=x_2^2, e como ambos são negativos, novamente x_1=x_2.
Se um é \ge0 e o outro <0 e não são ambos zero, então f(x_1) e f(x_2) têm sinais opostos (não podem ser iguais). O único ponto limite é x=0, mas aí f(0)=0 é único.
Logo não existem x_1\ne x_2 com f(x_1)=f(x_2); a função é injetora em todo \mathbb{R}.
(Outra observação útil: derivada para x\ne 0 é f'(x)=2|x|/x\cdot x? Melhor dizer: para x>0, f'(x)=2x>0; para x<0, f'(x)=-2x>0. Assim f'\!>\!0 em x\ne0, indicando crescimento estrito em cada ramo e coerente com injetividade global.)
Sobrejetividade onto \mathbb{R}:
Para x\to +\infty, f(x)=x^2\to +\infty.
Para x\to -\infty, f(x)=-x^2\to -\infty.
A função é contínua e atinge todos os valores entre -\infty e +\infty; portanto a imagem é todo \mathbb{R}. Logo f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é bijetora.
Inversa: resolver y=x|x| para x em termos de y.
Se y\ge 0, então x\ge 0 e y=x^{2}. Assim x=\sqrt{y}.
ou, de forma compacta, f^{-1}(y)=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{|y|}\] (onde \(\operatorname{sgn}(0)=0).]
Passo 4
Função (b): \displaystyle f(x)=\frac{-3x+1}{x-4}.
Domínio natural: todos os reais exceto x=4, pois aí o denominador zera. Assim D=\mathbb{R}\setminus\{4\}.
Injetividade / existência de inversa: tente resolver y=\dfrac{-3x+1}{x-4} para x.
y(x-4)=-3x+1.
Expandindo:
yx-4y=-3x+1.
Reunindo termos com x:
yx+3x=4y+1.
Fatorando x:
x(y+3)=4y+1.
Desde que y\ne -3, obtemos
x=\frac{4y+1}{y+3}.
Identificar valores proibidos no contradomínio: se y=-3 então a equação daria -3(x-4)=-3x+1\Rightarrow -3x+12=-3x+1, que é impossível. Ou seja, nenhum x\in D produz y=-3. Portanto a imagem (contradomínio atingido) é \mathbb{R}\setminus\{-3\}.
Conclusão: f é bijetora de D=\mathbb{R}\setminus\{4\} sobre \mathbb{R}\setminus\{-3\}. A inversa, definida em \mathbb{R}\setminus\{-3\}, é
f^{-1}(y)=\frac{4y+1}{y+3},\qquad y\ne -3.
Passo 5
Função (c): \displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+1}.
Simplificação do radicando:
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Portanto
f(x)=\sqrt{(x-1)^{2}}=|x-1|.
Domínio natural: todo \mathbb{R} (radicando é (x-1)^{2}\ge0 sempre).
Injetividade? f(x)=|x-1| não é injetora em todo \mathbb{R}: por exemplo f(0)=|0-1|=1 e f(2)=|2-1|=1, dois pontos diferentes com mesma imagem. Então precisamos restringir o domínio.
Boas restrições (os dois ramos):
No intervalo [1,\infty) temos x-1\ge0, logo |x-1|=x-1. Nesta restrição a função é f(x)=x-1, que é estritamente crescente e bijetora de [1,\infty) sobre [0,\infty). A inversa é, para y\ge0,
f^{-1}(y)=y+1.
No intervalo (-\infty,1] temos x-1\le0, então |x-1|=-(x-1)=1-x. Nesta restrição a função é f(x)=1-x, que é estritamente decrescente e dá bijeção de (-\infty,1] sobre [0,\infty). A inversa é, para y\ge0,
f^{-1}(y)=1-y.
Conclusão: as restrições usuais que tornam f bijetora são [1,\infty) e (-\infty,1], cada uma com a inversa indicada (ambas têm mesma imagem [0,\infty)).
Observe que (x-1)^{2}\ge 0 para todo x, então (x-1)^{2}+3\ge 3>0. Assim o radicando é sempre estritamente positivo. Logo o módulo não altera: \left|x^{2}-2x+4\right|=x^{2}-2x+4.
Portanto
f(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+3}.
Domínio natural: todo \mathbb{R}. Imagem: o mínimo de (x-1)^{2}+3 é 3 (ocorre em x=1), então a imagem de f é [\,\sqrt{3},\infty).
Injetividade? A função não é injetora em todo \mathbb{R}, porque é simétrica em torno de x=1: valores x=1+t e x=1-t dão o mesmo valor. A derivada
f'(x)=\frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^{2}+3}}
é negativa para x<1 e positiva para x>1, indicando um mínimo em x=1 e monotonicidade estrita nos ramos à esquerda e à direita.
Restrição para bijeção: restrinja o domínio a [1,\infty) ou a (-\infty,1]. Em cada ramo a função é estritamente monotônica e atinge a imagem completa [\,\sqrt{3},\infty).
Inversa: resolver y=\sqrt{(x-1)^{2}+3} para x, sabendo que y\ge \sqrt{3}.
Elevar ao quadrado:
(c) Simplificação f(x)=|x-1|. Domínios bijetores: [1,\infty) e (-\infty,1], ambos com imagem [0,\infty). Inversas: para y\ge 0, \displaystyle f^{-1}(y)=y+1 em [1,\infty) e \displaystyle f^{-1}(y)=1-y em (-\infty,1].
(d) Simplificação f(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+3}. Domínios bijetores: [1,\infty) e (-\infty,1], ambos com imagem [\sqrt{3},\infty). Inversas: para y\ge\sqrt{3}, \displaystyle f^{-1}(y)=1+\sqrt{y^{2}-3} em [1,\infty) e \displaystyle f^{-1}(y)=1-\sqrt{y^{2}-3} em (-\infty,1].]