(2,5 \mathrm{pts}) Calcule a integral dupla \iint_{D} x y d A onde D é a região limitada pelas curvas y=\sqrt{x}, x=0 e y=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D} x y\, dA, onde D é a região limitada pelas curvas y=\sqrt{x}, x=0 e y=1.\n
Informações importantes dadas:
A curva y=\sqrt{x} é equivalente a x=y^{2} (obtida isolando x).
A reta x=0 é o eixo dos y (e limita a região pela esquerda).
A reta y=1 é uma linha horizontal que corta a região em cima.
Precisamos encontrar a área D descrita por essas curvas e então calcular \iint_{D} x y\, dA.
Passo 2
Entender e desenhar (mentalmente) a região D. Vou descrever como é a região:
A curva x=y^{2} é uma parábola com concavidade para a direita; quando y varia de 0 a 1, x varia de 0 a 1.
A reta x=0 é o lado esquerdo (o eixo y).
A reta y=1 é o limite superior horizontal.
As interseções: x=0 com y=\sqrt{x} dá o ponto (0,0). y=1 intersecta x=y^{2} em x=1, ou seja ponto (1,1).
Portanto a região D é a região a esquerda da parábola x=y^{2}, à direita do eixo x=0, entre y=0 e y=1. Em outras palavras, para cada y em [0,1], x varia de 0 até y^{2}.
Passo 3
Escolher a ordem de integração e montar a integral iterada. Como vimos, é conveniente integrar primeiro em x e depois em y, porque os limites em x ficam simples: 0 a y^{2}, e y fica de 0 a 1. Assim a integral dupla vira a integral iterada
\iint_{D} x y\, dA = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{y^{2}} x y\, dx\right) dy.
Explicação dos símbolos: em x y a letra x e a letra y são variáveis; dentro da integral interna \int_{x=0}^{y^{2}} x y\, dx tratamos y como constante (porque estamos integrando em x); o dA foi trocado por dx\,dy já que usamos retângulos elementares com largura dx e altura dy.
Passo 4
Calcular a integral interna \displaystyle \int_{x=0}^{y^{2}} x y\, dx. Aqui y é constante em relação a x, então posso puxar y para fora da integral:
\int_{x=0}^{y^{2}} x y\, dx = y \int_{0}^{y^{2}} x\, dx.
Agora uso a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
Checagem rápida por consistência (opcional, mas bom para prova): os resultados intermediários são todos polinomiais e positivos na região D (pois x\ge0 e y\ge0 em D), então obter um número positivo pequeno faz sentido; além disso os passos usaram apenas a regra de potência e a propriedade de que y é constante na integral em x, procedimentos padrão e seguros.