Sejam as afirmações :
- A equação
representa um hiperbolóide de uma folha.
II) Os traços
e
da superfície
são, respectivamente, parábola, parábola e um ponto.
III) Todas as seções
da superfície
são elipses.
Marque a alternativa correta:
Escolha uma opção:
a. Apenas a afirmação I é verdadeira.
b. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
c. Apenas a afirmações I e III são verdadeiras.
d. Apenas a afirmação II é verdadeira.
e. Todas as afirmações são verdadeiras.
II) Os traços
III) Todas as seções
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado dá três afirmações e pede para indicar quais são verdadeiras. As afirmações são:
- A equação
representa um hiperbolóide de uma folha.
II) Os traços
e
da superfície
são, respectivamente, parábola, parábola e um ponto.
III) Todas as seções
da superfície
são elipses.
A tarefa é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras e então marcar a alternativa correta entre:
a. Apenas a afirmação I é verdadeira.
b. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
c. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
d. Apenas a afirmação II é verdadeira.
e. Todas as afirmações são verdadeiras.
a. Apenas a afirmação I é verdadeira.
b. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
c. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
d. Apenas a afirmação II é verdadeira.
e. Todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 2
Análise da afirmação I.
Primeiro um comentário didático sobre classificação de quadricas simples: quando temos uma equação quadrática simétrica nas variáveis e a colocamos na forma “igual a 1” (ou a outra constante), o sinal dos termos quadráticos determina o tipo de hiperbolóide:
- Se na forma
aparecem dois sinais positivos e um negativo, essa é a forma típica de um hiperbolóide de uma folha (superfície conectada). - Se aparece um sinal positivo e dois negativos, como
, então a superfície é um hiperbolóide de duas folhas (duas componentes desconexas).
Agora transformar a equação dada para a forma padrão: dividir ambos os lados por
,
ou seja
Aqui vemos claramente que há somente um termo positivo (
) e dois termos negativos (
). Pelo critério acima, isso corresponde a um hiperbolóide de duas folhas, não de uma folha.
Uma verificação simples e intuitiva: reescrevendo como
temos
, ou seja a superfície tem duas partes separadas (uma com
e outra com
). Logo não é uma folha única.
Conclusão deste passo: a afirmação I é falsa.
Passo 3
Análise da afirmação II.
Vamos calcular cada traço substituindo a coordenada indicada por zero.
Traço com
: colocar
em
dá
Isto é uma parábola no plano
(variando
e
) — abertura para baixo no eixo
. Portanto o primeiro traço é uma parábola.
Traço com
: colocar
dá
que também é uma parábola (no plano
), abertura para baixo no eixo
. Portanto o segundo traço é uma parábola.
Traço com
: colocar
dá
Os termos
e
são números não negativos para todo
. A soma de dois não negativos só é zero se ambos são zero, logo
e
. Portanto a interseção com o plano
é o único ponto
.
Conclusão deste passo: a afirmação II é verdadeira (os traços são, respectivamente, parábola, parábola e um ponto).
Passo 4
Análise da afirmação III.
Pegamos a superfície
e fixamos
(plano paralelo ao plano
). Substituindo,
Isto é a equação de uma circunferência de raio
centrada na origem do plano
. Uma circunferência é um caso particular de elipse (elipse com eixos iguais). Note também que
para todo
, portanto nunca ocorre degeneração (não há caso com lado direito negativo ou zero que estragasse a forma). Assim para qualquer
real a seção é uma curva fechada e convexa do tipo círculo, portanto uma elipse.
Conclusão deste passo: a afirmação III é verdadeira.
Passo 5
Combinação das conclusões:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Portanto as afirmações verdadeiras são apenas II e III.
Resposta
(b)