Sejam as afirmações :
  1. A equação 4 x^{2}-2 y^{2}-z^{2}=16 representa um hiperbolóide de uma folha.
    II) Os traços x=0, y=0 e z=0 da superfície \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}+z=0 são, respectivamente, parábola, parábola e um ponto.
    III) Todas as seções y=k da superfície x^{2}-y^{2}+z^{2}=1 são elipses.
Marque a alternativa correta:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. Apenas a afirmação I é verdadeira.
\bigcirc b. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
\bigcirc c. Apenas a afirmações I e III são verdadeiras.
\bigcirc d. Apenas a afirmação II é verdadeira.
\bigcirc e. Todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmações e pede para indicar quais são verdadeiras. As afirmações são:
  1. A equação \;4x^{2}-2y^{2}-z^{2}=16\; representa um hiperbolóide de uma folha.
II) Os traços \;x=0,\;y=0 e \;z=0 da superfície \;\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}+z=0\; são, respectivamente, parábola, parábola e um ponto.
III) Todas as seções \;y=k\; da superfície \;x^{2}-y^{2}+z^{2}=1\; são elipses.
A tarefa é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras e então marcar a alternativa correta entre:
a. Apenas a afirmação I é verdadeira.
b. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
c. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
d. Apenas a afirmação II é verdadeira.
e. Todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 2

Análise da afirmação I.
Primeiro um comentário didático sobre classificação de quadricas simples: quando temos uma equação quadrática simétrica nas variáveis e a colocamos na forma “igual a 1” (ou a outra constante), o sinal dos termos quadráticos determina o tipo de hiperbolóide:
  • Se na forma \dfrac{u^{2}}{a^{2}}+\dfrac{v^{2}}{b^{2}}-\dfrac{w^{2}}{c^{2}}=1 aparecem dois sinais positivos e um negativo, essa é a forma típica de um hiperbolóide de uma folha (superfície conectada).
  • Se aparece um sinal positivo e dois negativos, como \dfrac{u^{2}}{a^{2}}-\dfrac{v^{2}}{b^{2}}-\dfrac{w^{2}}{c^{2}}=1, então a superfície é um hiperbolóide de duas folhas (duas componentes desconexas).
Agora transformar a equação dada para a forma padrão: dividir ambos os lados por \;16\;,
\frac{4x^{2}}{16}-\frac{2y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{16}=1,
ou seja
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{16}=1.
Aqui vemos claramente que há somente um termo positivo ( \frac{x^{2}}{4}) e dois termos negativos ( -\frac{y^{2}}{8},\,-\frac{z^{2}}{16}). Pelo critério acima, isso corresponde a um hiperbolóide de duas folhas, não de uma folha.
Uma verificação simples e intuitiva: reescrevendo como
\frac{x^{2}}{4}=1+\frac{y^{2}}{8}+\frac{z^{2}}{16}\ge 1,
temos |x|\ge 2, ou seja a superfície tem duas partes separadas (uma com x\ge 2 e outra com x\le -2). Logo não é uma folha única.
Conclusão deste passo: a afirmação I é falsa.

Passo 3

Análise da afirmação II.
Vamos calcular cada traço substituindo a coordenada indicada por zero.
Traço com x=0: colocar \;x=0\; em \;\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}+z=0\;
\frac{0}{16}+\frac{y^{2}}{9}+z=0\quad\Longrightarrow\quad z=-\frac{y^{2}}{9}.
Isto é uma parábola no plano x=0 (variando y e z) — abertura para baixo no eixo z. Portanto o primeiro traço é uma parábola.
Traço com y=0: colocar \;y=0\;
\frac{x^{2}}{16}+\frac{0}{9}+z=0\quad\Longrightarrow\quad z=-\frac{x^{2}}{16},
que também é uma parábola (no plano y=0), abertura para baixo no eixo z. Portanto o segundo traço é uma parábola.
Traço com z=0: colocar \;z=0\;
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=0.
Os termos \dfrac{x^{2}}{16} e \dfrac{y^{2}}{9} são números não negativos para todo x,y. A soma de dois não negativos só é zero se ambos são zero, logo x=0 e y=0. Portanto a interseção com o plano z=0 é o único ponto (0,0,0).
Conclusão deste passo: a afirmação II é verdadeira (os traços são, respectivamente, parábola, parábola e um ponto).

Passo 4

Análise da afirmação III.
Pegamos a superfície \;x^{2}-y^{2}+z^{2}=1\; e fixamos \;y=k\; (plano paralelo ao plano xz). Substituindo,
x^{2}-k^{2}+z^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+z^{2}=1+k^{2}.
Isto é a equação de uma circunferência de raio \sqrt{1+k^{2}} centrada na origem do plano (x,z). Uma circunferência é um caso particular de elipse (elipse com eixos iguais). Note também que 1+k^{2}\ge 1>0 para todo k\in\mathbb{R}, portanto nunca ocorre degeneração (não há caso com lado direito negativo ou zero que estragasse a forma). Assim para qualquer k real a seção é uma curva fechada e convexa do tipo círculo, portanto uma elipse.
Conclusão deste passo: a afirmação III é verdadeira.

Passo 5

Combinação das conclusões:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Portanto as afirmações verdadeiras são apenas II e III.

Resposta

(b)

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