Exercício 0.15 Encontre:
\sup \left\{z \in \mathbb{R}: x^{2}+x+1>0\right\}

Passo 1

O enunciado pede o supremo do conjunto
S = \{x \in \mathbb{R} \mid x^{2} + x + 1 > 0\}.
O conteúdo aqui é análise de inequação quadrática e definição de supremo em \mathbb{R}.

Passo 2

Para decidir o sinal de f(x)=x^{2}+x+1, calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3.

Passo 3

Como \Delta = -3 < 0, a parábola f(x) não possui raízes reais e, sendo o coeficiente de x^{2} positivo, temos
f(x)>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Logo
S = \mathbb{R}.

Passo 4

O supremo de \mathbb{R} é +\infty, pois não há maior elemento real.

Resposta

+\infty

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