Exercício 12 Para uma f.d.a F, podemos definir sua função quantílica como a função F^{-1}:(0,1) \longrightarrow \mathbb{R} definida como
F^{-1}(p)=\inf \{x \in \mathbb{R}: F(x) \geq p\}, \quad 0<p<1
(a) Encontre as funções quantílicas das f.d.a’s dadas nos Exercícios 10 e 11;
(b) Determine os quartis das distribuições do item anterior usando suas respectivas funções quantílicas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar as funções quantílicas das f.d.a.'s dadas nos Exercícios 10 e 11.
  • (b) Determinar os quartis dessas distribuições usando as respectivas funções quantílicas.
Informações que o enunciado fornece aqui: nenhuma f.d.a. explícita foi enviada neste pedido — ou seja, as definições de F dos Exercícios 10 e 11 não foram incluídas na mensagem. Como a tarefa (a) exige calcular a função quantílica a partir de cada f.d.a. F, e a tarefa (b) exige avaliar essa função em p=0,25, p=0,5 e p=0,75, faltam os dados essenciais (as fórmulas ou os valores de F) para obter as respostas numéricas pedidas. Portanto, não é possível fornecer as funções quantílicas específicas nem os quartis para os Exercícios 10 e 11 sem essas f.d.a.'s.

Passo 2

Vou explicar com calma o que é a função quantílica e como calculá-la passo a passo, para que você saiba exatamente o que fazer quando tiver as f.d.a.'s dos Exercícios 10 e 11. A definição que você deu é
F^{-1}(p)=\inf\{x\in\mathbb{R}:\;F(x)\ge p\},\qquad 0<p<1.
O que isso quer dizer, em palavras simples:
  • Para cada probabilidade p entre 0 e 1, a função quantílica F^{-1}(p) é o menor valor de x tal que a probabilidade acumulada F(x) já é pelo menos p.
  • Se F for estritamente crescente e contínua, isso é exatamente o inverso usual: F^{-1}(p) resolve F(x)=p.
  • Se F tiver saltos (distribuição discreta), então para um p que caia dentro de um salto a quantílica é o ponto onde o salto começa (o menor x que leva F(x) a ultrapassar ou igualar p).
Observação importante sobre notação e prática na prova:
  • Para obter os quartis você vai usar p=0,25, p=0,5 e p=0,75, ou seja: q_1=F^{-1}(0,25),\qquad q_2=F^{-1}(0,5),\qquad q_3=F^{-1}(0,75).
  • Procedimento prático: dado F (em fórmula ou em tabela),
    1. identifique regiões em x onde F é constante, onde cresce linearmente, etc.;
    2. para cada p que interessa, resolva a desigualdade F(x)\ge p e escolha o menor x que satisfaz (é o \inf);
    3. se F for invertível numa região, resolva F(x)=p e verifique se a solução está na região; caso contrário, a quantílica será o ponto que inicia a região onde F ultrapassa p.

Passo 3

Exemplos didáticos para fixar (exemplo contínuo): distribuuição uniforme em [a,b]\). - A f.d.a. é \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<a,\\[4pt] \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 1, & x>b. \end{cases}
  • Para 0<p<1\] procuramos \(x tal que \dfrac{x-a}{b-a}\ge p dentro de [a,b]. Igualando dá \dfrac{x-a}{b-a}=p e resolvendo: x=a+p(b-a).
  • Como a função é estritamente crescente em [a,b], a inf coincide com essa solução. Portanto a função quantílica é F^{-1}(p)=a+p(b-a),\qquad 0<p<1.
  • Quartis (aplicando p=0,25,0,5,0,75): q_1=a+0,25(b-a),\quad q_2=a+0,5(b-a),\quad q_3=a+0,75(b-a).
Explicando por que isso é simples: numa f.d.a. contínua e estritamente crescente, a função quantílica é a inversa usual F^{-1}.]

Passo 4

Exemplo didático (discreto): distribuição com massas em poucos pontos.
Suponha X\) toma valores \(1,2,4\) com probabilidades \(0,2\), \(0,5\) e \(0,3\), respectivamente. Então a f.d.a. é \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<1,\\[3pt] 0,2, & 1\le x<2,\\[3pt] 0,7, & 2\le x<4,\\[3pt] 1, & x\ge4. \end{cases}
Passo a passo para achar F^{-1}(p)\]: - Para \[0<p\le 0,2: o menor x com F(x)\ge p é x=1, logo F^{-1}(p)=1.
- Para 0,2<p\le 0,7: o menor x com F(x)\ge p é x=2, logo F^{-1}(p)=2.
- Para 0,7<p<1: o menor x com F(x)\ge p é x=4, logo F^{-1}(p)=4.
Escrevendo a função quantílica por partes:
F^{-1}(p)=\begin{cases} 1, & 0<p\le 0,2,\\[3pt] 2, & 0,2<p\le 0,7,\\[3pt] 4, & 0,7<p<1. \end{cases}
Agora os quartis:
  • q_1=F^{-1}(0,25)\]. Como \(0,25\in(0,2,0,7], tem q_1=2.
  • q_2=F^{-1}(0,5). Como 0,5\in(0,2,0,7], tem q_2=2.
  • q_3=F^{-1}(0,75). Como 0,75\in(0,7,1), tem q_3=4.
Comentário pedagógico: em distribuição discreta é comum que vários quartis coincidam (a mediana aqui é 2 e o primeiro quartil também), porque a f.d.a. tem saltos — a quantílica pega o ponto onde o salto faz F atingir ou ultrapassar o p desejado.]

Passo 5

Regras práticas para aplicar na prova (passo a passo que você pode seguir rapidamente):
  1. Escreva F por partes (como nas funções exemplo): identifique intervalos em que F tem fórmula diferente.
  2. Para cada p de interesse ( 0,25,0,5,0,75):
    • percorra as partes de F em ordem crescente de x;
    • em cada parte verifique se F(x) naquela parte já é \ge p;
    • o primeiro ponto x (o menor) que faz F(x)\ge p é F^{-1}(p).
  3. Se F for invertível numa parte, resolva F(x)=p e verifique se a solução está naquela parte.
  4. Se na solução aparecer um p exatamente igual a um valor de salto (por ex. F(x_0)=p e F(x_0^-)<p), então F^{-1}(p)=x_0 (pela definição com \inf).

Passo 6

Aplicando ao seu caso específico (Exercícios 10 e 11): como as f.d.a.'s desses exercícios não foram incluídas na sua mensagem, não há como executar os passos acima para obter respostas numéricas. Quando tiver as expressões ou a tabela de F dos Exercícios 10 e 11, aplique o procedimento dos Passos 2–5: escreva F por partes, resolva F(x)\ge p para p=0,25,0,5,0,75 e escolha o menor x que funciona. Se quiser, cole aqui as f.d.a.'s que estavam nos Exercícios 10 e 11 e eu faço esse cálculo detalhado para você (mostrando cada passo).

Resposta

Não é possível determinar as funções quantílicas nem os quartis das f.d.a.'s dos Exercícios 10 e 11 porque as f.d.a.'s não foram fornecidas.

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