(a) Encontre as funções quantílicas das f.d.a’s dadas nos Exercícios 10 e 11;
(b) Determine os quartis das distribuições do item anterior usando suas respectivas funções quantílicas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar as funções quantílicas das f.d.a.'s dadas nos Exercícios 10 e 11.
(b) Determinar os quartis dessas distribuições usando as respectivas funções quantílicas.
Informações que o enunciado fornece aqui: nenhuma f.d.a. explícita foi enviada neste pedido — ou seja, as definições de F dos Exercícios 10 e 11 não foram incluídas na mensagem. Como a tarefa (a) exige calcular a função quantílica a partir de cada f.d.a. F, e a tarefa (b) exige avaliar essa função em p=0,25, p=0,5 e p=0,75, faltam os dados essenciais (as fórmulas ou os valores de F) para obter as respostas numéricas pedidas. Portanto, não é possível fornecer as funções quantílicas específicas nem os quartis para os Exercícios 10 e 11 sem essas f.d.a.'s.
Passo 2
Vou explicar com calma o que é a função quantílica e como calculá-la passo a passo, para que você saiba exatamente o que fazer quando tiver as f.d.a.'s dos Exercícios 10 e 11. A definição que você deu é
Para cada probabilidade p entre 0 e 1, a função quantílica F^{-1}(p) é o menor valor de x tal que a probabilidade acumulada F(x) já é pelo menos p.
Se F for estritamente crescente e contínua, isso é exatamente o inverso usual: F^{-1}(p) resolve F(x)=p.
Se F tiver saltos (distribuição discreta), então para um p que caia dentro de um salto a quantílica é o ponto onde o salto começa (o menor x que leva F(x) a ultrapassar ou igualar p).
Observação importante sobre notação e prática na prova:
Para obter os quartis você vai usar p=0,25, p=0,5 e p=0,75, ou seja:q_1=F^{-1}(0,25),\qquad q_2=F^{-1}(0,5),\qquad q_3=F^{-1}(0,75).
Procedimento prático: dado F (em fórmula ou em tabela),
identifique regiões em x onde F é constante, onde cresce linearmente, etc.;
para cada p que interessa, resolva a desigualdade F(x)\ge p e escolha o menor x que satisfaz (é o \inf);
se F for invertível numa região, resolva F(x)=p e verifique se a solução está na região; caso contrário, a quantílica será o ponto que inicia a região onde F ultrapassa p.
Passo 3
Exemplos didáticos para fixar (exemplo contínuo): distribuuição uniforme em [a,b]\).
- A f.d.a. é
\[F(x)=\begin{cases} 0, & x<a,\\[4pt] \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 1, & x>b. \end{cases}
Para 0<p<1\] procuramos \(x tal que \dfrac{x-a}{b-a}\ge p dentro de [a,b]. Igualando dá \dfrac{x-a}{b-a}=p e resolvendo:x=a+p(b-a).
Como a função é estritamente crescente em [a,b], a inf coincide com essa solução. Portanto a função quantílica éF^{-1}(p)=a+p(b-a),\qquad 0<p<1.
Explicando por que isso é simples: numa f.d.a. contínua e estritamente crescente, a função quantílica é a inversa usual F^{-1}.]
Passo 4
Exemplo didático (discreto): distribuição com massas em poucos pontos.
Suponha X\) toma valores \(1,2,4\) com probabilidades \(0,2\), \(0,5\) e \(0,3\), respectivamente. Então a f.d.a. é
\[F(x)=\begin{cases} 0, & x<1,\\[3pt] 0,2, & 1\le x<2,\\[3pt] 0,7, & 2\le x<4,\\[3pt] 1, & x\ge4. \end{cases}
Passo a passo para achar F^{-1}(p)\]:
- Para \[0<p\le 0,2: o menor x com F(x)\ge p é x=1, logo F^{-1}(p)=1.
- Para 0,2<p\le 0,7: o menor x com F(x)\ge p é x=2, logo F^{-1}(p)=2.
- Para 0,7<p<1: o menor x com F(x)\ge p é x=4, logo F^{-1}(p)=4.
q_1=F^{-1}(0,25)\]. Como \(0,25\in(0,2,0,7], tem q_1=2.
q_2=F^{-1}(0,5). Como 0,5\in(0,2,0,7], tem q_2=2.
q_3=F^{-1}(0,75). Como 0,75\in(0,7,1), tem q_3=4.
Comentário pedagógico: em distribuição discreta é comum que vários quartis coincidam (a mediana aqui é 2 e o primeiro quartil também), porque a f.d.a. tem saltos — a quantílica pega o ponto onde o salto faz F atingir ou ultrapassar o p desejado.]
Passo 5
Regras práticas para aplicar na prova (passo a passo que você pode seguir rapidamente):
Escreva F por partes (como nas funções exemplo): identifique intervalos em que F tem fórmula diferente.
Para cada p de interesse (0,25,0,5,0,75):
percorra as partes de F em ordem crescente de x;
em cada parte verifique se F(x) naquela parte já é \ge p;
o primeiro ponto x (o menor) que faz F(x)\ge p é F^{-1}(p).
Se F for invertível numa parte, resolva F(x)=p e verifique se a solução está naquela parte.
Se na solução aparecer um p exatamente igual a um valor de salto (por ex. F(x_0)=p e F(x_0^-)<p), então F^{-1}(p)=x_0 (pela definição com \inf).
Passo 6
Aplicando ao seu caso específico (Exercícios 10 e 11): como as f.d.a.'s desses exercícios não foram incluídas na sua mensagem, não há como executar os passos acima para obter respostas numéricas. Quando tiver as expressões ou a tabela de F dos Exercícios 10 e 11, aplique o procedimento dos Passos 2–5: escreva F por partes, resolva F(x)\ge p para p=0,25,0,5,0,75 e escolha o menor x que funciona. Se quiser, cole aqui as f.d.a.'s que estavam nos Exercícios 10 e 11 e eu faço esse cálculo detalhado para você (mostrando cada passo).
Resposta
Não é possível determinar as funções quantílicas nem os quartis das f.d.a.'s dos Exercícios 10 e 11 porque as f.d.a.'s não foram fornecidas.