Exercício 9 Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X\) seja dada por \[f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{c}{\sqrt{1-x}}, & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
(a) Encontre o valor da constante c\] e esboce \(f_{X};
(b) Determine a f.d.a F_{X} de X
(c) Encontre o valor de \mathbb{P}(X \leq 1 / 2).

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade (f.d.p.) de X\): \[f_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{c}{\sqrt{1-x}}, & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
(a) encontrar o valor da constante c\] e esboçar \(f_{X};
(b) determinar a função de distribuição acumulada F_{X} de X;
(c) calcular \mathbb{P}\bigl(X \leq 1/2\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A função f_{X} deve ser uma f.d.p.: isto implica f_{X}(x)\ge 0 para todo x e
\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)\,dx = 1.
  • No intervalo de interesse 0<x<1, f_X(x)=c(1-x)^{-1/2}, que é positiva mas tem uma singularidade em x\to1^-. Ainda assim pode ser integrável.]

Passo 2

Encontrar c via normalização: exigir que a integral da f.d.p. sobre toda a reta seja 1. Como f_X é zero fora de (0,1), temos
\int_{0}^{1} \frac{c}{\sqrt{1-x}}\,dx = 1.
Vamos calcular essa integral com cuidado.
Explicação da técnica de integração que usaremos: integrar uma potência do tipo (1-x)^{\alpha} é feito por substituição. Aqui o integrando é (1-x)^{-1/2}. Faço a substituição \;u=1-x\;, então \;du=-dx\;. Quando x=0, u=1. Quando x=1, u=0. Assim
\int_{0}^{1} (1-x)^{-1/2}\,dx = \int_{u=1}^{u=0} u^{-1/2}(-du) = \int_{0}^{1} u^{-1/2}\,du.
Agora usamos a fórmula básica de integração de potências: para \alpha\neq -1,
\int u^{\alpha}\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C.
Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}, então \alpha+1=\tfrac{1}{2} e
\int_{0}^{1} u^{-1/2}\,du = \left[\frac{u^{1/2}}{1/2}\right]_{0}^{1} = 2\bigl(u^{1/2}\bigr)\Big|_{0}^{1} = 2(1-0)=2.
Voltando ao cálculo com o fator c:
c\cdot 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{2}.
Comentário didático curto: mesmo com a singularidade em x=1, a integral é finita porque (1-x)^{-1/2} é integrável no extremo (é uma singularidade do tipo raiz, que produz área finita).

Passo 3

Esboço de f_{X} (descrição verbal e alguns pontos para desenhar à mão):
  • Para x\le 0 e x\ge 1, f_X(x)=0.
  • Para 0<x<1, f_X(x)=\dfrac{1/2}{\sqrt{1-x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}.
  • Em x\to 1^{-}, f_X(x)\to+\infty (a curva sobe sem limite perto de 1, verticalmente para cima).
  • Em x=0, f_X(0)=\dfrac{1}{2\sqrt{1}}=\dfrac{1}{2}.
  • Alguns pontos numéricos para orientar o esboço:
    • x=0 \Rightarrow f_X(0)=\tfrac{1}{2}.
    • x=\tfrac{3}{4} \Rightarrow f_X(\tfrac{3}{4})=\dfrac{1}{2}/\sqrt{1-\tfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{2}/\sqrt{\tfrac{1}{4}}=1.
    • x=0{,}9 \Rightarrow f_X(0{,}9)=\dfrac{1}{2}/\sqrt{0{,}1}\approx 1{,}581.
  • Assim, o gráfico começa em (0,\tfrac{1}{2}), cresce de forma suave e depois acelera para cima quando x se aproxima de 1, mostrando uma “borda” vertical em x=1. A área total sob a curva entre 0 e 1 vale 1.

Passo 4

Determinar a função de distribuição acumulada F_{X}. Lembrete (definição): para uma variável contínua com densidade f_X,
F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt.
Vamos construir F_X em três regiões (antes de 0, entre 0 e 1, e após 1).
  1. Se x\le 0, como f_X(t)=0 para t\le 0, tem-se \;F_X(x)=0.
  2. Se 0<x<1,
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt = \int_{0}^{x} \frac{1/2}{\sqrt{1-t}}\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{x} (1-t)^{-1/2}\,dt.
Repetimos a mesma substituição que fizemos antes: com u=1-t, du=-dt, os limites vão de u=1 até u=1-x. Assim
\int_{0}^{x} (1-t)^{-1/2}\,dt = \int_{u=1}^{u=1-x} u^{-1/2}(-du) = \int_{1-x}^{1} u^{-1/2}\,du.
Calculando,
\int_{1-x}^{1} u^{-1/2}\,du = \left[2u^{1/2}\right]_{1-x}^{1} = 2\bigl(1 - \sqrt{1-x}\bigr).
Multiplicando pelo fator 1/2,
F_X(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\bigl(1-\sqrt{1-x}\bigr)=1-\sqrt{1-x},\qquad 0<x<1.
  1. Se x\ge 1, toda a massa está em (0,1), então F_X(x)=1.
Conferência de continuidade nos pontos: em x=0 a fórmula do meio dá 1-\sqrt{1}=0 consistente; em x\to1^{-} 1-\sqrt{0}=1 consistente com F_X(1)=1.
Assim F_X é:
F_X(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] 1-\sqrt{1-x}, & 0<x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1. \end{cases}]

Passo 5

Calcular \mathbb{P}\bigl(X\le 1/2\bigr). Para variável contínua isso é simplesmente F_X(1/2). Usando a expressão encontrada para 0<x<1,
\mathbb{P}\bigl(X\le \tfrac{1}{2}\bigr) = F_X\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) = 1 - \sqrt{1-\tfrac{1}{2}} = 1 - \sqrt{\tfrac{1}{2}}.
Forma exata: 1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Aproximação numérica:
1-\sqrt{\tfrac{1}{2}} \approx 1 - 0{,}7071 = 0{,}2929.

Passo 6

Resumo rápido (checagens): c=\tfrac{1}{2}>0 e integrais e limites coincidem com expectativas de uma f.d.p. positiva e de área 1. O CDF é contínuo e crescente do 0 ao 1. A probabilidade pedida é menor que 1/2, como faz sentido já que a densidade concentra mais massa próxima a 1.

Resposta

(a) c=\dfrac{1}{2}\). (b) \[F_X(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] 1-\sqrt{1-x}, & 0<x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1. \end{cases}
(c) (\mathbb{P}\bigl(X\le \tfrac{1}{2}\bigr)=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}2929].]

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