Exercício 9 Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X\) seja dada por
\[f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{c}{\sqrt{1-x}}, & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
(a) Encontre o valor da constante c\] e esboce \(f_{X};
(b) Determine a f.d.a F_{X} de X
(c) Encontre o valor de \mathbb{P}(X \leq 1 / 2).
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade (f.d.p.) de X\):
\[f_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{c}{\sqrt{1-x}}, & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
(a) encontrar o valor da constante c\] e esboçar \(f_{X};
(b) determinar a função de distribuição acumulada F_{X} de X;
(c) calcular \mathbb{P}\bigl(X \leq 1/2\bigr).
Informações relevantes dadas:
A função f_{X} deve ser uma f.d.p.: isto implica f_{X}(x)\ge 0 para todo x e
\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)\,dx = 1.
No intervalo de interesse 0<x<1, f_X(x)=c(1-x)^{-1/2}, que é positiva mas tem uma singularidade em x\to1^-. Ainda assim pode ser integrável.]
Passo 2
Encontrar c via normalização: exigir que a integral da f.d.p. sobre toda a reta seja 1. Como f_X é zero fora de (0,1), temos
\int_{0}^{1} \frac{c}{\sqrt{1-x}}\,dx = 1.
Vamos calcular essa integral com cuidado.
Explicação da técnica de integração que usaremos: integrar uma potência do tipo (1-x)^{\alpha} é feito por substituição. Aqui o integrando é (1-x)^{-1/2}. Faço a substituição \;u=1-x\;, então \;du=-dx\;. Quando x=0, u=1. Quando x=1, u=0. Assim
Comentário didático curto: mesmo com a singularidade em x=1, a integral é finita porque (1-x)^{-1/2} é integrável no extremo (é uma singularidade do tipo raiz, que produz área finita).
Passo 3
Esboço de f_{X} (descrição verbal e alguns pontos para desenhar à mão):
Para x\le 0 e x\ge 1, f_X(x)=0.
Para 0<x<1, f_X(x)=\dfrac{1/2}{\sqrt{1-x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}.
Em x\to 1^{-}, f_X(x)\to+\infty (a curva sobe sem limite perto de 1, verticalmente para cima).
Assim, o gráfico começa em (0,\tfrac{1}{2}), cresce de forma suave e depois acelera para cima quando x se aproxima de 1, mostrando uma “borda” vertical em x=1. A área total sob a curva entre 0 e 1 vale 1.
Passo 4
Determinar a função de distribuição acumulada F_{X}. Lembrete (definição): para uma variável contínua com densidade f_X,
Resumo rápido (checagens): c=\tfrac{1}{2}>0 e integrais e limites coincidem com expectativas de uma f.d.p. positiva e de área 1. O CDF é contínuo e crescente do 0 ao 1. A probabilidade pedida é menor que 1/2, como faz sentido já que a densidade concentra mais massa próxima a 1.