Questão 04: Seja a \in \mathbb{Z} tal que 2 não divide a e 3 não divide a. Prove que
12 \mid(a \cdot a-1) .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação: a\in\mathbb{Z} (ou seja, a é um inteiro).
  • Informação: 2 não divide a (ou seja, 2\nmid a).
  • Informação: 3 não divide a (ou seja, 3\nmid a).
  • Pedido: provar que 12 divide a\cdot a-1. Interpreta-se aqui a expressão como a^2-1.
Ou seja, devemos mostrar que
12\mid(a^2-1).

Passo 2

Recordando o que significa “ m divide n” e congruências (para que fique bem claro):
  • Dizemos que m\mid n quando existe um inteiro k tal que n = m k.
  • Dizemos que x\equiv y\pmod{n} quando n\mid(x-y). Essas duas ideias estão conectadas: provar n\mid x é o mesmo que provar x\equiv0\pmod{n}.
Vou provar separadamente que 4\mid(a^2-1) e que 3\mid(a^2-1). Como 3 e 4 são coprimos (isto é, \gcd(3,4)=1), isso implicará que 12= \operatorname{lcm}(3,4) divide a^2-1.

Passo 3

Usando 2\nmid a (isto é, a não é par): então a é ímpar. Escrever a como a=2k+1 com k\in\mathbb{Z}. Calculemos a^2:
a^2=(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 4\bigl(k^2+k\bigr)+1.
Logo
a^2-1 = 4\bigl(k^2+k\bigr).
A expressão k^2+k é um inteiro, então a^2-1 é múltiplo de 4. Em notação de divisibilidade:
4\mid(a^2-1).
Explicação rápida e intuitiva: quadrado de número ímpar é sempre da forma 4\times(\text{inteiro})+1, então ao subtrair 1 sobra um múltiplo de 4.

Passo 4

Agora usemos 3\nmid a. Os restos possíveis de a ao dividir por 3 são 0,1,2. A hipótese diz que o resto não é 0, logo a é congruente a 1 ou a 2 módulo 3. Escrevemos isso como:
a\equiv 1\pmod{3}\quad\text{ou}\quad a\equiv 2\pmod{3}.
Elevar ao quadrado em cada caso:
  • Se a\equiv 1\pmod{3} então a^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod{3}.
  • Se a\equiv 2\pmod{3} note que 2\equiv -1\pmod{3}, então a^2\equiv (-1)^2\equiv 1\pmod{3}.
Em ambos os casos a^2\equiv 1\pmod{3}, isto é,
a^2-1\equiv 0\pmod{3},
ou seja,
3\mid(a^2-1).
(Alternativa algébrica: escrever a=3m\pm1 e expandir a^2-1=9m^2\pm6m, que é claramente múltiplo de 3.)

Passo 5

Temos agora as duas conclusões:
4\mid(a^2-1)\quad\text{e}\quad 3\mid(a^2-1).
Como \gcd(3,4)=1, o menor múltiplo comum de 3 e 4 é 12. Uma forma segura de justificar que isso implica 12\mid(a^2-1) é a seguinte: escreva a^2-1=4u (pela primeira divisibilidade). Se também 3\mid(a^2-1), então 3\mid 4u. Como \gcd(3,4)=1, segue que 3\mid u. Logo u=3v e a^2-1=4(3v)=12v, o que mostra 12\mid(a^2-1).

Passo 6

Portanto, combinando os resultados, concluímos que para todo inteiro a tal que 2\nmid a e 3\nmid a vale
12\mid(a^2-1).
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: para a=5 (não divisível por 2 nem por 3), a^2-1=25-1=24 e 24 é múltiplo de 12.

Resposta

12\mid(a^2-1)

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