Questão 04: Seja
tal que 2 não divide
e 3 não divide
. Prove que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Informação:
(ou seja, é um inteiro). - Informação:
não divide (ou seja, ). - Informação:
não divide (ou seja, ). - Pedido: provar que
divide . Interpreta-se aqui a expressão como .
Ou seja, devemos mostrar que
Passo 2
Recordando o que significa “
divide
” e congruências (para que fique bem claro):
- Dizemos que
quando existe um inteiro tal que . - Dizemos que
quando . Essas duas ideias estão conectadas: provar é o mesmo que provar .
Vou provar separadamente que
e que
. Como
e
são coprimos (isto é,
), isso implicará que
divide
.
Passo 3
Usando
(isto é,
não é par): então
é ímpar. Escrever
como
com
. Calculemos
:
Logo
A expressão
é um inteiro, então
é múltiplo de
. Em notação de divisibilidade:
Explicação rápida e intuitiva: quadrado de número ímpar é sempre da forma
, então ao subtrair
sobra um múltiplo de
.
Passo 4
Agora usemos
. Os restos possíveis de
ao dividir por
são
. A hipótese diz que o resto não é
, logo
é congruente a
ou a
módulo
. Escrevemos isso como:
Elevar ao quadrado em cada caso:
- Se
então . - Se
note que , então .
Em ambos os casos
, isto é,
ou seja,
(Alternativa algébrica: escrever
e expandir
, que é claramente múltiplo de
.)
Passo 5
Temos agora as duas conclusões:
Como
, o menor múltiplo comum de
e
é
. Uma forma segura de justificar que isso implica
é a seguinte: escreva
(pela primeira divisibilidade). Se também
, então
. Como
, segue que
. Logo
e
, o que mostra
.
Passo 6
Portanto, combinando os resultados, concluímos que para todo inteiro
tal que
e
vale
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: para
(não divisível por
nem por
),
e
é múltiplo de
.