Exercício 8 Suponha que X\) tenha f.d.p dada por \[f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{1}{8} x & \text { se } 0<x \leq 4 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Ache o valor de t tal que (\mathbb{P}(X \geq t)=1 / 2].

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade de X\): \[f_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{8}\,x & \text{se } 0<x \leq 4,\\[6pt] 0 & \text{caso contrário.}\end{cases}
O que se pede: achar o valor de t\] tal que \[\mathbb{P}(X \geq t)=\tfrac{1}{2}.\] Informações relevantes extraídas do enunciado: - A densidade é nula fora do intervalo \(0<x\leq 4, ou seja, todo o suporte da variável é o intervalo (0,4].
- A densidade dentro do suporte é f_X(x)=\dfrac{1}{8}x.
- Queremos o ponto t (presumivelmente em [0,4]) que deixa metade da probabilidade à direita: P(X\ge t)=1/2.]

Passo 2

Primeiro, é útil checar que f_X é de fato uma densidade (isto dá segurança nas manipulações). Para isso calculamos a integral total da densidade no suporte:
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = \int_{0}^{4} \frac{1}{8}x\,dx.
Calculando a integral:
\int_{0}^{4} \frac{1}{8}x\,dx = \frac{1}{8}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{4} = \frac{1}{16}\big(4^{2}-0^{2}\big)=\frac{1}{16}\cdot 16 = 1.
Portanto a função está normalizada e é uma densidade válida.

Passo 3

Vamos escrever a função distribuição acumulada (CDF) F(x)=\mathbb{P}(X\le x), porque ela facilita calcular probabilidades:
  • Para x\le 0: \;F(x)=0 (fora do suporte à esquerda).
  • Para 0<x\le 4: \;F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1}{8}u\,du.
    Calculando essa integral: F(x)=\frac{1}{8}\cdot\frac{u^{2}}{2}\Big|_{0}^{x}=\frac{1}{16}x^{2}.Logo, para 0<x\le 4 temos F(x)=\dfrac{x^{2}}{16}.
  • Para x>4: \;F(x)=1.

Passo 4

A probabilidade pedida pode ser escrita como integral da densidade à direita de t:
\mathbb{P}(X\ge t)=\int_{t}^{\infty} f_X(x)\,dx.
Como a densidade é nula fora de (0,4], para t\in[0,4] isso equivale a
\mathbb{P}(X\ge t)=\int_{t}^{4}\frac{1}{8}x\,dx.
Também, para variáveis contínuas sem massa pontual, vale a relação simples \mathbb{P}(X\ge t)=1-F(t). Podemos usar qualquer uma das expressões; vou usar a integral direta para resolver.

Passo 5

Colocamos a equação pedida e resolvemos para t:
\int_{t}^{4}\frac{1}{8}x\,dx=\frac{1}{2}.
Calculando a integral:
\int_{t}^{4}\frac{1}{8}x\,dx=\frac{1}{8}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{t}^{4}=\frac{1}{16}\big(4^{2}-t^{2}\big)=\frac{16-t^{2}}{16}.
Portanto a equação fica
\frac{16-t^{2}}{16}=\frac{1}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 16:
16-t^{2}=8.
Isolando t^{2}:
t^{2}=16-8=8.
Como t deve estar no suporte [0,4] (e portanto ser não-negativo), tomamos a raiz positiva:
t=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Conferência rápida: 2\sqrt{2}\approx 2{,}828, que está entre 0 e 4, faz sentido.

Passo 6

Interpretação didática curta: t=2\sqrt{2} é a mediana da distribuição (ponto que deixa metade da probabilidade à direita). O cálculo usou a ideia básica de probabilidade contínua: probabilidades de intervalos são integrais da densidade, e a CDF em x é a integral da densidade desde o início do suporte até x.

Resposta

t=2\sqrt{2}

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