Exercício 8 Suponha que X\) tenha f.d.p dada por
\[f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{1}{8} x & \text { se } 0<x \leq 4 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Ache o valor de t tal que (\mathbb{P}(X \geq t)=1 / 2].
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade de X\):
\[f_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{8}\,x & \text{se } 0<x \leq 4,\\[6pt] 0 & \text{caso contrário.}\end{cases}
O que se pede: achar o valor de t\] tal que
\[\mathbb{P}(X \geq t)=\tfrac{1}{2}.\]
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A densidade é nula fora do intervalo \(0<x\leq 4, ou seja, todo o suporte da variável é o intervalo (0,4].
- A densidade dentro do suporte é f_X(x)=\dfrac{1}{8}x.
- Queremos o ponto t (presumivelmente em [0,4]) que deixa metade da probabilidade à direita: P(X\ge t)=1/2.]
Passo 2
Primeiro, é útil checar que f_X é de fato uma densidade (isto dá segurança nas manipulações). Para isso calculamos a integral total da densidade no suporte:
Portanto a função está normalizada e é uma densidade válida.
Passo 3
Vamos escrever a função distribuição acumulada (CDF) F(x)=\mathbb{P}(X\le x), porque ela facilita calcular probabilidades:
Para x\le 0: \;F(x)=0 (fora do suporte à esquerda).
Para 0<x\le 4: \;F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1}{8}u\,du.
Calculando essa integral:F(x)=\frac{1}{8}\cdot\frac{u^{2}}{2}\Big|_{0}^{x}=\frac{1}{16}x^{2}.Logo, para 0<x\le 4 temos F(x)=\dfrac{x^{2}}{16}.
Para x>4: \;F(x)=1.
Passo 4
A probabilidade pedida pode ser escrita como integral da densidade à direita de t:
\mathbb{P}(X\ge t)=\int_{t}^{\infty} f_X(x)\,dx.
Como a densidade é nula fora de (0,4], para t\in[0,4] isso equivale a
\mathbb{P}(X\ge t)=\int_{t}^{4}\frac{1}{8}x\,dx.
Também, para variáveis contínuas sem massa pontual, vale a relação simples \mathbb{P}(X\ge t)=1-F(t). Podemos usar qualquer uma das expressões; vou usar a integral direta para resolver.
Como t deve estar no suporte [0,4] (e portanto ser não-negativo), tomamos a raiz positiva:
t=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Conferência rápida: 2\sqrt{2}\approx 2{,}828, que está entre 0 e 4, faz sentido.
Passo 6
Interpretação didática curta: t=2\sqrt{2} é a mediana da distribuição (ponto que deixa metade da probabilidade à direita). O cálculo usou a ideia básica de probabilidade contínua: probabilidades de intervalos são integrais da densidade, e a CDF em x é a integral da densidade desde o início do suporte até x.