Seja V o espaço das funções reais. Determine se os seguintes conjuntos de funções a seguir são LI ou LD e justifique.
f(t)=t^2, g(t)=t, h(t)=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
f,g,h=,t^2,,t,,1
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço V de todas as funções reais.
Para isso, vamos usar a definição de independência linear: dizemos que f,g,h é LI se a única solução do sistema
alpha f(t)+beta g(t)+gamma h(t)=0,forall tinR,
for alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear nula temos
alpha,t^2+beta,t+gamma=0,forall tinR
Isto significa que o polinômio P(t)=alpha t^2+beta t+gamma é identicamente zero.

Passo 3

Pela unicidade de coeficientes de um polinômio nulo, concluímos
alpha=0, beta=0, gamma=0
Como não há outra combinação não-trivial que zere todas as funções, o conjunto é LI.

Resposta

O conjunto t^2,t,1 é linearmente independente.

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