Prove que, se uma matriz B tem inversa à esquerda, então as colunas de B são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se existe uma matriz A tal que
A,B = In,
então as colunas de B são linearmente independentes.
Aqui vamos usar o conceito de inversa à esquerda (isto é, A é inversa à esquerda de B) e a definição de independência linear de colunas: dizer que as colunas de B são independentes equivale a mostrar que, se
B,x = 0,
então necessariamente x = 0.

Passo 2

Seja B uma matriz de tamanho mtimes n e A uma matriz de tamanho ntimes m tal que
A,B = In
Escrevamos as colunas de B como ,b1,dots,bninR^m. A independência linear destas colunas significa verificar que, sempre que
x1,b1 + x2,b2 + cdots + xn,bn = 0,
então todos os escalares x1,dots,xn são zero.

Passo 3

Em termos matriciais, a combinação linear acima é
B,x = 0,
onde x=(x1,dots,xn)^T. Para explorar a inversa à esquerda, multiplicamos dos dois lados por A:
A,(B,x) = A,0
Como A,B=In e A,0=0, obtemos
In,x = 0 Longrightarrow x = 0

Passo 4

Concluímos que a única solução de B,x=0 é x=0. Pela definição de independência linear de colunas, isso significa exatamente que as colunas de B são linearmente independentes.

Resposta

As colunas de B são linearmente independentes.

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