Prove que, se uma matriz B tem inversa à esquerda, então as colunas de B são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se existe uma matriz
tal que
então as colunas de
são linearmente independentes.
Aqui vamos usar o conceito de inversa à esquerda (isto é, é inversa à esquerda de
) e a definição de independência linear de colunas: dizer que as colunas de
são independentes equivale a mostrar que, se
Aqui vamos usar o conceito de inversa à esquerda (isto é,
então necessariamente
.
Passo 2
Seja
uma matriz de tamanho
e
uma matriz de tamanho
tal que
Escrevamos as colunas de
como
. A independência linear destas colunas significa verificar que, sempre que
então todos os escalares
são zero.
Passo 3
Em termos matriciais, a combinação linear acima é
onde
. Para explorar a inversa à esquerda, multiplicamos dos dois lados por
:
Como
e
, obtemos
Passo 4
Concluímos que a única solução de
é
. Pela definição de independência linear de colunas, isso significa exatamente que as colunas de
são linearmente independentes.
Resposta
As colunas de
são linearmente independentes.