Exercício 12: A quantidade de micotoxina FB1 presente no milho no momento da colheita é normal com média 80 mu g / g e desvio padrão de 10 mu g / g para uma variedade A de milho transgênico e com média 90 mu g / g e desvio padrão de 20 mu g / g para uma variedade B de milho transgênico.
a) Em um determinado recipiente, há 60 amostras de milho da variedade A e 40 amostras de milho da variedade B. Se um pesquisador pegará aleatoriamente uma dessas amostras desse recipiente, qual a probabilidade da amostra conter mais de 100 mu g / g de micotoxina FB1 ?
b) Se um outro pesquisador tem uma amostra que contém milho apenas de uma variedade de milho e esta amostra contém mais de 100 mu g / g, qual a probabilidade da amostra ser da variedade A?

Passo 1

O enunciado descreve duas variedades de milho transgênico com teores de micotoxina FB1 distribuídos normalmente: a variedade A tem média muA = 80, mug/g e desvio padrão sigmaA = 10, mug/g; a variedade B tem média muB = 90, mug/g e desvio padrão sigmaB = 20, mug/g. Num recipiente há 60% de amostras de A e 40% de B.
a) Queremos Pr(X>100) para a amostra aleatória (mistura).
b) Queremos Pr(A mid X>100), ou seja, a probabilidade de ter sido A dado que X>100.

Passo 2

Calculamos primeiro as probabilidades condicionais de exceder 100 em cada variedade. Para uma normal,
Pr(X>100 mid A) ;=; 1 - Phil(tfrac100 - muAsigmaAr) ;=;1 - Phil(tfrac100 - 8010r) ;=;1 - Phi(2) ;approx;1 - 0,97725 ;=;0,02275
De modo análogo,
Pr(X>100 mid B) ;=;1 - Phil(tfrac100 - 9020r) ;=;1 - Phi(0,5) ;approx;1 - 0,69146 ;=;0,30854

Passo 3

Como há 60% de A e 40% de B, a probabilidade total de X>100 vem da regra da probabilidade total:
Pr(X>100) =0,6;Pr(X>100mid A) +0,4;Pr(X>100mid B)
=0,6times0,02275 ;+;0,4times0,30854 ;approx;0,01365 + 0,12342 ;=;0,13707

Passo 4

Para a parte (b), usamos o Teorema de Bayes:
Pr(Amid X>100) =Pr(A),Pr(X>100mid A)Pr(X>100) =0,6times0,022750,13707 ;approx;0,013650,13707 ;=;0,0996

Resposta

(a) Pr(X>100)approx0,1371.
(b) Pr(Amid X>100)approx0,0996.

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