Exercício 13: Um elevador tem capacidade para 450 Kg . Supondo que o peso de um homem tem distribuição normal com média 80 kg e desvio padrão 15 kg e uma mulher tem distribuição normal com média 65 kg e desvio padrão 12 kg , calcule as probabilidades a seguir. Assuma independência entre os pesos das pessoas.
a) A probabilidade de 6 homens não excederem a capacidade do elevador.
b) A probabilidade de 3 homens e 3 mulheres não excederem a capacidade do elevadores?

Passo 1

O enunciado diz que o peso de um homem é Msim N(80,15^2) e o de uma mulher é Wsim N(65,12^2), todos independentes. A capacidade do elevador é de 450 kg. Para cada caso vamos usar que a soma de normais independentes é normal, com média igual à soma das médias e variância igual à soma das variâncias.

Passo 2

(a) Seja S=sumi=1^6Mi a soma dos pesos de 6 homens.
A média de S é
muS = 6 times 80 = 480,
e a variância é
sigmaS^2 = 6 times 15^2 = 6 times 225 = 1350
Logo Ssim N(480,1350).

Passo 3

Para calcular
P(S <= 450)
padronizamos:
Z = S - 480raiz1350,
então
P(S <= 450) = P!l(Z <= 450 - 480raiz1350r) = P!l(Z <= -30raiz1350r)
Como raiz1350approx 36,74, o quantil é -30/36,74approx -0,816. Logo
P(S <= 450) approx Phi(-0,816) approx 0,207

Passo 4

(b) Agora seja
T = sumi=1^3Mi + sumj=1^3Wj
a soma de 3 homens e 3 mulheres. A média é
muT = 3cdot80 + 3cdot65 = 240 + 195 = 435,
e a variância é
sigmaT^2 = 3cdot15^2 + 3cdot12^2 = 3cdot225 + 3cdot144 = 675 + 432 = 1107
Logo Tsim N(435,1107).

Passo 5

Calculamos
P(T <= 450) = P!l(Z <= 450 - 435raiz1107r) = P!l(Z <= 15raiz1107r)
Como raiz1107approx 33,27, o quantil é 15/33,27approx 0,451. Então
P(T <= 450) approx Phi(0,451) approx 0,674

Resposta

(a) 0,207
(b) 0,674

Exercícios relacionados