Exercício 12 Reescreva as sentenças abaixo usando o que se pede.
(Reescreva usando o mínimo possível de símbolos) \forall x \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon>0, \varepsilon \in \mathbb{R}, \exists r \notin \mathbb{Q} ;|x-r|<\varepsilon.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado é a seguinte fórmula (copiei exatamente os quantificadores dados):
\forall x \in \mathbb{R},\\ \forall \varepsilon>0,\\ \varepsilon \in \mathbb{R},\\ \exists r \notin \mathbb{Q}\\ ;\\ |x-r|<\varepsilon.
O pedido: reescrever essa sentença usando o mínimo possível de símbolos (ou seja, uma forma equivalente mais compacta).

Passo 2

Entendendo os componentes e identificando redundâncias (aqui explico cada símbolo/parte para você usar parecido na prova).
  • O quantificador \forall x\in\mathbb{R} significa “para todo x real”.
  • O quantificador \forall \varepsilon>0 significa “para todo \varepsilon estritamente positivo”. Note que dizer “ \varepsilon>0” já implica \varepsilon\in\mathbb{R}. Portanto a parte “ \varepsilon\in\mathbb{R}” é redundante e pode ser retirada sem alterar o significado.
  • A parte “ \exists r\notin\mathbb{Q}” diz “existe r que não é racional”. Em notação de conjuntos é comum escrever isso como r\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} (ou seja, r pertence aos reais excluindo os racionais), que é mais compacto e explícito sobre o domínio de r.
  • A condição |x-r|<\varepsilon é a parte final que relaciona x, r e \varepsilon.
Resumo: a redundância principal a eliminar é “ \varepsilon\in\mathbb{R}”, e podemos trocar “ r\notin\mathbb{Q}” por “ r\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}” para ficar mais claro e compacto.

Passo 3

Sobre compactar quantificadores: é comum e aceitável juntar quantificadores universais do mesmo tipo numa única expressão, por exemplo escrever \forall x\in\mathbb{R}\\ \forall\varepsilon>0 em vez de repetir vírgulas e frases. Também se pode usar dois pontos ou “:” antes da condição final. Tudo isso mantém o significado e reduz símbolos redundantes.

Passo 4

Construindo a versão compacta e equivalente, usando as observações anteriores:
  • removo \varepsilon\in\mathbb{R} porque já está implícito por \varepsilon>0;
  • escrevo r\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} em vez de r\notin\mathbb{Q};
  • junto os quantificadores universais de forma simples.
Uma forma curta e padrão fica:
\forall x\in\mathbb{R}\\ \forall\varepsilon>0\\ \exists r\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}:\\ |x-r|<\varepsilon.

Passo 5

Observações finais rápidas para a prova (dicas de como justificar se pedirem equivalência): explicar que a fórmula acima é logicamente equivalente à original porque
  • retirar “ \varepsilon\in\mathbb{R}” não altera o conjunto de \varepsilon permitidos (a condição \varepsilon>0 já restringe a \mathbb{R});
  • trocar r\notin\mathbb{Q} por r\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} apenas explicita que r é um real que não é racional.

Resposta

\forall x\in\mathbb{R}\\ \forall\varepsilon>0\\ \exists r\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}:\\ |x-r|<\varepsilon

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