Exercício 13 Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças sem usar os quantificadores universal e existencial:
.
Passo 1
O enunciado fornece a sentença aberta
O que é pedido: transformar essa sentença aberta em uma sentença equivalente que não use os quantificadores universal (
) nem existencial (
). Ou seja, escrever a condição que
precisa satisfazer, de forma direta (sem quantificadores). Vou assumir, porque não foi informado, que a variável
pertence aos números reais. Se o domínio for outro (por exemplo inteiros), vou comentar a diferença no final.
Passo 2
Regra básica que vou usar (explicando devagar): ao resolver uma desigualdade linear envolvendo uma única variável, pode-se aplicar as mesmas operações aos dois lados desde que se respeitem as propriedades das desigualdades:
- Somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade.
- Multiplicar ou dividir os dois lados por um número positivo preserva a desigualdade.
- Multiplicar ou dividir os dois lados por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.
Essas operações mantêm ou transformam a desigualdade de forma equivalente — isto é, a nova desigualdade é satisfeita pelos mesmos valores deque a original.
Passo 3
Aplicar a primeira operação: subtrair
dos dois lados. Isso é permitido e preserva a desigualdade. Executando:
Passo 4
Agora dividir ambos os lados por
. Como
é positivo, o sentido da desigualdade não muda. Fazendo a divisão:
Passo 5
Interpretação e escrita sem quantificadores: a condição equivalente, sem usar
ou
, é simplesmente expressar a restrição sobre
. Em notação de conjunto:
Verificações rápidas (teste para ganhar confiança):
- Para
: , satisfaz ( 43). - Para
: , satisfaz. - Para
: , não satisfaz.
Observação sobre domínio: se o domínio de
for os inteiros
, a solução fica
Mas, assumindo o domínio padrão
, a forma mais direta e sem quantificadores é
.