Exercício 13 Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças sem usar os quantificadores universal e existencial:
2 z+5 \geq 43.

Passo 1

O enunciado fornece a sentença aberta
2z+5 \geq 43.
O que é pedido: transformar essa sentença aberta em uma sentença equivalente que não use os quantificadores universal ( \forall) nem existencial ( \exists). Ou seja, escrever a condição que z precisa satisfazer, de forma direta (sem quantificadores). Vou assumir, porque não foi informado, que a variável z pertence aos números reais. Se o domínio for outro (por exemplo inteiros), vou comentar a diferença no final.

Passo 2

Regra básica que vou usar (explicando devagar): ao resolver uma desigualdade linear envolvendo uma única variável, pode-se aplicar as mesmas operações aos dois lados desde que se respeitem as propriedades das desigualdades:
  • Somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade.
  • Multiplicar ou dividir os dois lados por um número positivo preserva a desigualdade.
  • Multiplicar ou dividir os dois lados por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.
    Essas operações mantêm ou transformam a desigualdade de forma equivalente — isto é, a nova desigualdade é satisfeita pelos mesmos valores de z que a original.

Passo 3

Aplicar a primeira operação: subtrair 5 dos dois lados. Isso é permitido e preserva a desigualdade. Executando:
2z+5 \geq 43
2z+5-5 \geq 43-5
2z \geq 38

Passo 4

Agora dividir ambos os lados por 2. Como 2 é positivo, o sentido da desigualdade não muda. Fazendo a divisão:
\frac{2z}{2} \geq \frac{38}{2}
z \geq 19

Passo 5

Interpretação e escrita sem quantificadores: a condição equivalente, sem usar \forall ou \exists, é simplesmente expressar a restrição sobre z. Em notação de conjunto:
\{\,z\in\mathbb{R}\mid z\geq 19\,\}.
Verificações rápidas (teste para ganhar confiança):
  • Para z=19: 2\cdot19+5=38+5=43, satisfaz ( =43).
  • Para z=20: 2\cdot20+5=45\geq43, satisfaz.
  • Para z=18: 2\cdot18+5=41<43, não satisfaz.
Observação sobre domínio: se o domínio de z for os inteiros \mathbb{Z}, a solução fica
\{\,19,20,21,\dots\}.
Mas, assumindo o domínio padrão \mathbb{R}, a forma mais direta e sem quantificadores é z\geq19.

Resposta

z \geq 19

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