Exercício 12 Reescreva as sentenças abaixo usando o que se pede.
(Use o máximo possível de símbolos matemáticos para reescrever) Sejam a_{n} e l números reais. Dado épsilon positivo, existe um número natural n_{0} tal que, se n for maior do que ou igual a n_{0}, então o módulo da diferença de a_{n} e l é menor do que épsilon.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever em símbolos matemáticos a sentença verbal abaixo. Vou listar claramente o que ele dá e o que devemos expressar (sem resolver nada ainda):
  • Dados: as sequências \{a_n\} e o número real l.
  • Informação a ser traduzida (texto dado): “Dado épsilon positivo, existe um número natural n_{0} tal que, se n for maior do que ou igual a n_{0}, então o módulo da diferença de a_{n} e l é menor do que épsilon.”
  • Objetivo: escrever essa frase usando o máximo possível de símbolos matemáticos (quantificadores, conjuntos, valor absoluto, implicação, etc.).

Passo 2

Traduzindo a primeira parte: “Dado épsilon positivo” significa que estamos quantificando sobre todos os números \varepsilon estritamente positivos. Em linguagem de quantificadores isso vira
\forall \varepsilon > 0.
Explicação breve: o símbolo \forall lê-se “para todo” ou “para toda”, e \varepsilon>0 restringe esse quantificador aos reais positivos.

Passo 3

A segunda parte: "existe um número natural n_{0}" corresponde ao quantificador existencial com restrição ao conjunto dos naturais. Escrevemos
\exists n_{0}\in\mathbb{N}.
Explicação: o símbolo \exists significa “existe” e \mathbb{N} é o conjunto dos números naturais (convenção: pode ser \{1,2,\dots\} ou \{0,1,2,\dots\}, mas aqui só importa que n_0 seja natural).

Passo 4

A parte condicional: "se n for maior do que ou igual a n_{0}" indica que a quantificação sobre n é universal, restringindo n a naturais que satisfaçam n\ge n_0. Podemos escrever isso como
\forall n\in\mathbb{N},\quad n\ge n_{0}\Rightarrow \dots
Explicação: \forall n\in\mathbb{N} significa “para todo n natural” e a seta \Rightarrow representa “implica” (ou “então”).

Passo 5

A conclusão: “o módulo da diferença de a_{n} e l é menor do que épsilon” é simplesmente
|a_{n}-l|<\varepsilon.
Explicação: |a_n-l| é o valor absoluto (distância entre a_n e l na reta real). Juntando com a implicação, temos a forma final da implicação lógica.

Passo 6

Agora juntamos todas as peças na ordem correta dos quantificadores. A tradução completa e padrão da frase é
\forall \varepsilon>0\\ \exists n_{0}\in\mathbb{N}\\ \forall n\in\mathbb{N},\\ n\ge n_{0}\Rightarrow |a_{n}-l|<\varepsilon.
Comentário sobre a ordem: a ordem dos quantificadores é importante — primeiro vem o quantificador \forall \varepsilon>0 (porque o enunciado começa “Dado épsilon…”), depois \exists n_0 (há um n_0 que pode depender de \varepsilon), e por último a condição para todos os n.

Passo 7

Para consolidar a ideia com um exemplo prático (para aprender a aplicar isso na prova): considere a_n=\dfrac{1}{n} e l=0. Dado \varepsilon>0, escolha
n_0=\left\lceil \dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil \in\mathbb{N}.
Então, se n\ge n_0 temos
|a_n-l|=\left|\dfrac{1}{n}-0\right|=\dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{n_0}<\varepsilon,
mostrando concretamente como encontrar o n_0 pedido pela tradução simbólica. Isso ilustra como usar a forma simbólica na hora da prova: dado \varepsilon, constrói-se um n_0 que depende de \varepsilon e prova-se a desigualdade para todo n\ge n_0.

Resposta

\forall \varepsilon>0\\ \exists n_{0}\in\mathbb{N}\\ \forall n\in\mathbb{N},\\ n\ge n_{0}\Rightarrow |a_{n}-l|<\varepsilon

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