Exercício 12 Reescreva as sentenças abaixo usando o que se pede.
(Reescreva usando o mínimo possível de símbolos)
.
(Reescreva usando o mínimo possível de símbolos)
Passo 1
O enunciado dado é a sentença formal
.
O que se pede: reescrever essa sentença usando o mínimo possível de símbolos.
Informações relevantes do enunciado:
O que se pede: reescrever essa sentença usando o mínimo possível de símbolos.
Informações relevantes do enunciado:
- Há um quantificador universal inicial:
(para todo) que se refere a polinômios dessa forma. - O polinômio é monico (coeficiente líder
) e tem grau , um número ímpar. - Os coeficientes
são reais: . - A conclusão é existencial:
tal que .
Passo 2
Interpretar em linguagem matemática curta o que a sentença quer dizer. Vou explicar os conceitos para você sentir firmeza:
- “Grau ímpar” significa que
é impar. Um polinômio real de grau ímpar tem comportamento em infinidade com sinais opostos: como o termo de maior grau é (coeficiente ), tem
e . - O teorema que usamos (intuitivamente) é o Teorema do Valor Intermediário: se
é contínua num intervalo e e têm sinais opostos, então existe entre e com . Polinômios são funções contínuas, logo o teorema se aplica.
Passo 3
Escolher uma forma curta e simbólica: queremos eliminar redundâncias mantendo clareza. Uma forma compacta é quantificar sobre o conjunto dos polinômios reais e usar a propriedade “grau ímpar”. Uma escrita curta e padrão é:
Explicando:
é o conjunto dos polinômios com coeficientes reais;
é o grau de
. Esta fórmula usa poucos símbolos e é bem direta.
Passo 4
Dar uma versão totalmente em linguagem natural, igualmente curta (para quem prefere palavras):
“Todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.”
Isso é o mesmo conteúdo, escrito com mínimo de símbolos (quase nenhum): claro e direto para a prova ou para enunciar numa resposta.
“Todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.”
Isso é o mesmo conteúdo, escrito com mínimo de símbolos (quase nenhum): claro e direto para a prova ou para enunciar numa resposta.
Passo 5
Dar uma argumentação curta (didática) que mostra por que a sentença é verdadeira — útil para justificar a reescrita na hora da prova:
- Como
é monico de grau ímpar, para grande e positivo o termo domina, então quando . Para grande e negativo, é negativo e grande em módulo, então quando . - Escolha
grande tal que e . Como é contínua (polinômio), pelo Teorema do Valor Intermediário existe com . - Portanto
tem pelo menos uma raiz real, o que justifica as formas reescritas.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (bem simples):
. Aqui
(ímpar), e
. Tomando
dá
e
dá
; então existe
com
. Isso mostra na prática a ideia do argumento anterior.
Resposta
Todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.