Exercício 12 Reescreva as sentenças abaixo usando o que se pede.
(Reescreva usando o mínimo possível de símbolos) \forall p(x)=x^{2 n+1}+a_{2 n} x^{2 n}+\ldots+a_{1} x+a_{0}, a_{i} \in \mathbb{R}, \exists y_{0} \in \mathbb{R} ; p\left(y_{0}\right)=0.

Passo 1

O enunciado dado é a sentença formal
\forall p(x)=x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+\ldots+a_{1}x+a_{0},\\ a_{i}\in\mathbb{R},\\ \exists y_{0}\in\mathbb{R};\\ p(y_{0})=0.
O que se pede: reescrever essa sentença usando o mínimo possível de símbolos.
Informações relevantes do enunciado:
  • Há um quantificador universal inicial: \forall (para todo) que se refere a polinômios p dessa forma.
  • O polinômio é monico (coeficiente líder 1) e tem grau 2n+1, um número ímpar.
  • Os coeficientes a_{i} são reais: a_{i}\in\mathbb{R}.
  • A conclusão é existencial: \exists y_{0}\in\mathbb{R} tal que p(y_{0})=0.

Passo 2

Interpretar em linguagem matemática curta o que a sentença quer dizer. Vou explicar os conceitos para você sentir firmeza:
  • “Grau ímpar” significa que \deg p=2n+1 é impar. Um polinômio real de grau ímpar tem comportamento em infinidade com sinais opostos: como o termo de maior grau é x^{2n+1} (coeficiente 1), tem
    \lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty.
  • O teorema que usamos (intuitivamente) é o Teorema do Valor Intermediário: se f é contínua num intervalo e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe c entre a e b com f\text{(c)}=0. Polinômios são funções contínuas, logo o teorema se aplica.

Passo 3

Escolher uma forma curta e simbólica: queremos eliminar redundâncias mantendo clareza. Uma forma compacta é quantificar sobre o conjunto dos polinômios reais e usar a propriedade “grau ímpar”. Uma escrita curta e padrão é:
\forall p\in\mathbb{R}[x],\\ \deg p\\ \text{\small(ímpar)}\Rightarrow \exists y\in\mathbb{R}:\\ p(y)=0.í
Explicando: \mathbb{R}[x] é o conjunto dos polinômios com coeficientes reais; \deg p é o grau de p. Esta fórmula usa poucos símbolos e é bem direta.

Passo 4

Dar uma versão totalmente em linguagem natural, igualmente curta (para quem prefere palavras):
“Todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.”
Isso é o mesmo conteúdo, escrito com mínimo de símbolos (quase nenhum): claro e direto para a prova ou para enunciar numa resposta.

Passo 5

Dar uma argumentação curta (didática) que mostra por que a sentença é verdadeira — útil para justificar a reescrita na hora da prova:
  • Como p é monico de grau ímpar, para x grande e positivo o termo x^{2n+1} domina, então p(x)\to+\infty quando x\to+\infty. Para x grande e negativo, x^{2n+1} é negativo e grande em módulo, então p(x)\to-\infty quando x\to-\infty.
  • Escolha A>0 grande tal que p(A)>0 e p(-A)<0. Como p é contínua (polinômio), pelo Teorema do Valor Intermediário existe y_{0}\in(-A,A) com p(y_{0})=0.
  • Portanto p tem pelo menos uma raiz real, o que justifica as formas reescritas.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (bem simples): q(x)=x^{3}-2. Aqui \deg q=3 (ímpar), e \lim_{x\to+\infty}q(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to-\infty}q(x)=-\infty. Tomando x=2 q(2)=6>0 e x=1 q(1)=-1<0; então existe y\in(1,2) com q(y)=0. Isso mostra na prática a ideia do argumento anterior.

Resposta

Todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
\forall p\in\mathbb{R}[x],\\ \deg p\\ \text{\normalfont(ímpar)}\Rightarrow \exists y\in\mathbb{R}:\\ p(y)=0í

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