e pede encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial no intervalo (0,L) com as condições de contorno dadas. As informações relevantes são:
A equação é linear, de segunda ordem, com termo forçante f(x)=x(L-x).
As condições de contorno são de Dirichlet homogêneas: y(0)=y(L)=0.
O enunciado solicita resolver por séries de Fourier (isto é, representar f e y como séries em funções próprias que satisfaçam as condições de contorno).]
Passo 2
Por que usar série de Fourier aqui? Quando as condições de contorno são y(0)=y(L)=0, a base natural de funções para expandir é a base dos senos \{\sin(n\pi x/L)\}_{n=1}^\infty, porque cada seno é zero em x=0 e x=L. A ideia é:
Expandir f(x)=x(L-x) em série de senos (série de Fourier seno) na base \sin(n\pi x/L).
Procurar y(x) também como série de senos. Ao substituir as séries na equação -y''=f e usar a ortogonalidade dos senos, obtemos uma relação simples coeficiente a coeficiente, que nos dá os coeficientes da série de y.
Vou agora ensinar e usar as fórmulas necessárias passo a passo.
Passo 3
Definições e propriedades úteis (explicadas com calma).
Consideremos k_n=\dfrac{n\pi}{L}\) para \(n=1,2,\dots\).
- Qualquer função suficientemente regular que seja zero nas extremidades pode ser expandida em série de senos:
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\big(k_n x\big),
onde os coeficientes b_n são dados por (fórmula da série de Fourier seno)
Essa identidade pode ser obtida usando a fórmula do produto de senos ou integração por partes; ela é a razão pela qual os coeficientes são independentes entre si.
Derivando a série de y\] duas vezes (ter cuidado com convergência para justificar, mas esse é o procedimento padrão), temos
\[y''(x)=-\sum_{n=1}^\infty a_n k_n^2 \sin\!\big(k_n x\big).\]
Substituindo em \(-y''=f obtemos, coeficiente a coeficiente,
Simplifique a expressão usando kL=n\pi\). Temos \(\sin(kL)=\sin(n\pi)=0\) e \(\cos(kL)=\cos(n\pi)=(-1)^n\). Logo
\[b_n=\frac{4\big(1-(-1)^n\big)}{Lk^3}.
Note que 1-(-1)^n vale 0 se n é par e vale 2 se n é ímpar. Assim
Breve comentário de verificação (útil para a prova): se preferir, pode resolver a equação diferencial diretamente integrando duas vezes y''=-x(L-x) e impondo as condições de contorno; isso dá a solução polinomial
que é igual à soma da série de senos acima (a série de senos converge, no intervalo aberto, ao polinômio que é a solução clássica). A forma em série é a resposta pedida por “resolver por séries de Fourier”.