Exercício 12 Resolva o seguinte sistema linear
l x1^prime=x1(t)-x2(t) x2^prime=4 x1(t)+x2(t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais
x1'(t)=x1(t)-x2(t), x2'(t)=4,x1(t)+x2(t)
Aqui o conteúdo é teoria de sistemas lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Reescrevemos o sistema em forma matricial , onde
Para resolver, calculamos os autovalores de e depois os autovetores, gerando as soluções fundamentais.]

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =det!1-lambda & -1 [3pt]4 & 1-lambda =(1-lambda)^2+4 =lambda^2-2lambda+5
Resolvendo lambda^2-2lambda+5=0 obtemos
lambda=1pm 2,i ]

Passo 4

Para lambda=1+2i um autovetor é dado pela solução de (A-lambda I)v=0. Da primeira linha
(1-lambda)v1-v2=0 Longrightarrow (-2i)v1-v2=0 Longrightarrow v2=-2i,v1
Tomando v1=1 vem v=l(1,-2ir)^T. A solução complexa é x(t)=e^(1+2i)tv.

Passo 5

Para obter a solução real, escrevemos v=a+ib com
a=10, b=0-2,
e usamos
Rel(e^(1+2i)tvr) =e^tl(acos2t - bsin2tr), Iml(e^(1+2i)tvr) =e^tl(asin2t + bcos2tr)
Logo a solução geral real é
x(t) =C1,e^tcos2t2sin2t ;+; C2,e^tsin2t-2cos2t

Resposta

onde e ãá

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