Exercício 12 Resolva o seguinte sistema linear
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais
Aqui o conteúdo é teoria de sistemas lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.
Passo 2
Reescrevemos o sistema em forma matricial
, onde
Para resolver, calculamos os autovalores
de
e depois os autovetores, gerando as soluções fundamentais.]
Passo 3
O polinômio característico de
é
Resolvendo
obtemos
Passo 4
Para
um autovetor é dado pela solução de
. Da primeira linha
Tomando
vem
. A solução complexa é
.
Passo 5
Para obter a solução real, escrevemos
com
e usamos
Logo a solução geral real é
Resposta
onde
e