Exercício 11 Resolva o seguinte PVI
l y^prime prime(t)+y^prime(t)-2 y(t)=2 t y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem
y''(t)+y'(t)-2y(t)=2t, y(0)=0,;y'(0)=1
Isso é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A ideia é encontrar a solução geral como
y(t)=yh(t)+yp(t)
onde yh é a solução da homogênea e yp é uma particular, e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Resolvemos a homogênea
y''+y'-2y=0
O polinômio característico é
r^2+r-2=0,
cuja raízes são r=1 e r=-2. Logo
yh(t)=C1e^t + C2e^-2t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 2t (polinômio de grau 1), tentamos
yp(t)=at+b
Então
yp'(t)=a, yp''(t)=0,
e substituindo em y''+y'-2y=2t
0 + a -2(at+b)=2t
-2a,t + (a-2b)=2t
Igualando coeficientes:
-2a=2, a-2b=0
a=-1, b=-tfrac12
Logo
yp(t)=-t-tfrac12

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C1e^t + C2e^-2t - t - tfrac12

Passo 5

Calculamos a derivada e aplicamos as condições iniciais.
y'(t)=C1e^t -2C2e^-2t -1
Em t=0:
y(0)=C1+C2 -0 -tfrac12=0 Rightarrow C1+C2=tfrac12,
y'(0)=C1 -2C2 -1=1 Rightarrow C1-2C2=2

Passo 6

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac12, C1 -2C2 = 2,
subtraindo a segunda da primeira: -3C2=tfrac32 então C2=-tfrac12 e C1=1. Assim
y(t)=e^t - tfrac12e^-2t - t - tfrac12

Resposta

y(t)=e^t - tfrac12e^-2t - t - tfrac12

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