Exercício 11 Resolva o seguinte PVI
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem
Isso é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A ideia é encontrar a solução geral como
onde
é a solução da homogênea e
é uma particular, e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Resolvemos a homogênea
O polinômio característico é
cuja raízes são
e
. Logo
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
(polinômio de grau 1), tentamos
Então
e substituindo em
dá
Igualando coeficientes:
Logo
Passo 4
A solução geral é
Passo 5
Calculamos a derivada e aplicamos as condições iniciais.
Em
:
Passo 6
Resolvendo o sistema
subtraindo a segunda da primeira:
então
e
. Assim