Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
quando
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos condicionados da função
sujeita à restrição
O método dos multiplicadores de Lagrange diz para definirmos
e resolvermos
juntamente com a equação de restrição
.
Passo 2
Calculemos os gradientes:
O sistema
gera as três equações
acompanhadas de
Passo 3
Das equações
,
e
obtemos para cada coordenada que ou o fator da esquerda é zero ou
. Se
violamos a restrição, logo necessariamente
. Assim qualquer ponto
que satisfaça
é solução do sistema de Lagrange.
Passo 4
Em qualquer ponto da esfera
temos
Ou seja, a função restrita à esfera é constante e igual a 1.
Passo 5
Como
é constante igual a
em toda a esfera, cada ponto da esfera é ao mesmo tempo mínimo e máximo global condicionado. Não há pontos distintos com valores diferentes de
.
Resposta
Todos os pontos que satisfazem
são extremos condicionados de
, com valor