Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
u=x^2+y^2+z^2 quando x^2+y^2+z^2 = 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos condicionados da função
u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeita à restrição
x^2+y^2+z^2=1
O método dos multiplicadores de Lagrange diz para definirmos
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1
e resolvermos
nabla u = lambda,nabla g,
juntamente com a equação de restrição g(x,y,z)=0.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
nabla u = (2x,2y,2z),
nabla g = (2x,2y,2z)
O sistema nabla u = lambda,nabla g gera as três equações
2x = lambda,2x, 2y = lambda,2y, 2z = lambda,2z,
acompanhadas de
x^2+y^2+z^2=1

Passo 3

Das equações 2x = lambda,2x, 2y = lambda,2y e 2z = lambda,2z obtemos para cada coordenada que ou o fator da esquerda é zero ou lambda=1. Se x=y=z=0 violamos a restrição, logo necessariamente lambda=1. Assim qualquer ponto (x,y,z) que satisfaça
x^2+y^2+z^2=1
é solução do sistema de Lagrange.

Passo 4

Em qualquer ponto da esfera x^2+y^2+z^2=1 temos
u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1
Ou seja, a função restrita à esfera é constante e igual a 1.

Passo 5

Como u é constante igual a 1 em toda a esfera, cada ponto da esfera é ao mesmo tempo mínimo e máximo global condicionado. Não há pontos distintos com valores diferentes de u.

Resposta

Todos os pontos que satisfazem x^2+y^2+z^2=1 são extremos condicionados de u, com valor
u=1

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