Exercício 0.8 Estude a variação das seguintes funções reais:
Passo 1
O enunciado pede para “estudar a variação” da função real
Isto significa:
- Determinar o domínio da função.
- Encontrar os pontos críticos (onde a derivada existe e é zero ou não existe).
- Determinar os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente. - Identificar máximos e mínimos (valores e pontos).
Informações dadas:
- A função trigonométrica é definida para todo
(não há restrição de domínio). - A função é combinação linear de
e .
Passo 2
Vamos lembrar o que precisamos para estudar variação:
- A monotonicidade é estudada pela derivada: se
num intervalo, é crescente ali; se , é decrescente. - Derivadas básicas das funções trigonométricas (lembrando em Português):
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
- A derivada de
- Também é útil saber combinar soma de seno e cosseno numa única função sinusoidal: expressões do tipo
podem ser escritas como (ou ), com e um ângulo escolhido para ajustar os coeficientes. Isso facilita achar máximos, mínimos e estudar sinais.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Usando as derivadas mencionadas:
Portanto
Passo 4
É conveniente escrever
como uma única função sinusoidal. Note a soma
. Calcule o módulo
Existe um ângulo
tal que
Para encontrar
igualamos coeficientes:
e
. Isso dá
logo
. Assim
Como
, obtemos
Passo 5
Encontre os pontos críticos resolvendo
:
As soluções são
isto é
Esses são todos os pontos críticos (a derivada existe em todo
, então só temos zeros).
Passo 6
Analisar o sinal de
para determinar monotonicidade.
Lembrete:
quando
e
quando
, com
.
Queremos o sinal de
:
-
quando .
Isso ocorre quandopara algum . Subtraindo , Escrevendo com , um modo mais compacto é Nesses intervalos é crescente. -
quando .
Isso acontece quandoou Nesses intervalos é decrescente.
Portanto a monotonicidade é periódica com período
: em cada período temos um intervalo de crescimento de comprimento
e um de decrescimento de comprimento \pi, deslocados conforme acima.
Passo 7
Classificar os pontos críticos (máximos ou mínimos). Podemos usar o sinal de
ou a segunda derivada. Calcule a segunda derivada:
Avalie em
:
- Se
é par, e : ponto de máximo local. - Se
é ímpar, e : ponto de mínimo local.
Também podemos obter os valores de
nesses pontos reescrevendo
como uma função única:
Como feito antes para a derivada, podemos escrever
Como feito antes para a derivada, podemos escrever
Logo:
- Em
(caso par na fórmula geral), tem-se e , então máximos (valor máximo global ). - Em
, tem-se e , então mínimos (valor mínimo global ).
Portanto os extremos são globais também, pois
é uma função contínua e periódica com amplitude
.
Passo 8
Resumo e forma prática para decorar (útil para prova):
- Domínio:
. - Derivada:
. - Pontos críticos:
. - Monotonicidade:
- Crescente em
- Decrescente em
- Crescente em
- Extremos:
- Máximos:
. - Mínimos:
.
- Máximos:
Força aí — decorar o procedimento (derivar, reduzir a uma única seno/cosseno, achar zeros e sinal) resolve muita questão de variação trigonométrica.
Resposta
Domínio:
.
Pontos críticos:
Crescente em
Decrescente em
Máximos:
Mínimos: