Exercício 0.8 Estude a variação das seguintes funções reais:
g(x)=\sqrt{3} \cos x-\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para “estudar a variação” da função real
g(x)=\sqrt{3}\cos x-\operatorname{sen} x.
Isto significa:
  • Determinar o domínio da função.
  • Encontrar os pontos críticos (onde a derivada existe e é zero ou não existe).
  • Determinar os intervalos onde g é crescente e onde é decrescente.
  • Identificar máximos e mínimos (valores e pontos).
Informações dadas:
  • A função trigonométrica é definida para todo x\in\mathbb{R} (não há restrição de domínio).
  • A função é combinação linear de \cos x e \operatorname{sen} x.

Passo 2

Vamos lembrar o que precisamos para estudar variação:
  • A monotonicidade é estudada pela derivada: se g'(x)>0 num intervalo, g é crescente ali; se g'(x)<0, g é decrescente.
  • Derivadas básicas das funções trigonométricas (lembrando em Português):
    • A derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x.
    • A derivada de \operatorname{sen} x é \cos x.
  • Também é útil saber combinar soma de seno e cosseno numa única função sinusoidal: expressões do tipo A\cos x + B\operatorname{sen} x podem ser escritas como R\cos(x+\varphi) (ou R\sin(x+\psi)), com R=\sqrt{A^2+B^2} e um ângulo \varphi escolhido para ajustar os coeficientes. Isso facilita achar máximos, mínimos e estudar sinais.

Passo 3

Calcular a derivada de g. Usando as derivadas mencionadas:
g'(x)=\sqrt{3}\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)-\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x) =\sqrt{3}\cdot(-\operatorname{sen} x)-\cos x.
Portanto
g'(x)=-\sqrt{3}\operatorname{sen} x-\cos x.

Passo 4

É conveniente escrever g'(x) como uma única função sinusoidal. Note a soma \sqrt{3}\operatorname{sen} x+\cos x. Calcule o módulo
R=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=2.
Existe um ângulo \varphi tal que
\sqrt{3}\operatorname{sen} x+\cos x = 2\operatorname{sen}(x+\varphi).
Para encontrar \varphi igualamos coeficientes: 2\cos\varphi=\sqrt{3} e 2\sin\varphi=1. Isso dá
\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\varphi=\frac{1}{2},
logo \varphi=\frac{\pi}{6}. Assim
\sqrt{3}\operatorname{sen} x+\cos x = 2\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right).
Como g'(x)=-\big(\sqrt{3}\operatorname{sen} x+\cos x\big), obtemos
g'(x)=-2\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right).

Passo 5

Encontre os pontos críticos resolvendo g'(x)=0:
-2\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0.
As soluções são
x+\frac{\pi}{6}=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
isto é
x = -\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Esses são todos os pontos críticos (a derivada existe em todo \mathbb{R}, então só temos zeros).

Passo 6

Analisar o sinal de g'(x)=-2\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right) para determinar monotonicidade.
Lembrete: \operatorname{sen} t>0 quando t\in(2m\pi,\,(2m+1)\pi) e \operatorname{sen} t<0 quando t\in((2m+1)\pi,\,(2m+2)\pi), com m\in\mathbb{Z}.
Queremos o sinal de -2\operatorname{sen}(x+\pi/6):
  • g'(x)>0 quando \operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)<0.
    Isso ocorre quando x+\frac{\pi}{6}\in\big((2m+1)\pi,\,(2m+2)\pi\big)para algum m\in\mathbb{Z}. Subtraindo \frac{\pi}{6}, x\in\big((2m+1)\pi-\tfrac{\pi}{6},\,(2m+2)\pi-\tfrac{\pi}{6}\big).Escrevendo com k= m, um modo mais compacto é x\in\big(\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\;\tfrac{11\pi}{6}+2k\pi\big),\qquad k\in\mathbb{Z}.Nesses intervalos g é crescente.
  • g'(x)<0 quando \operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>0.
    Isso acontece quando x+\frac{\pi}{6}\in\big(2m\pi,\,(2m+1)\pi\big),ou x\in\big( -\tfrac{\pi}{6}+2k\pi,\;\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\big),\qquad k\in\mathbb{Z}.Nesses intervalos g é decrescente.
Portanto a monotonicidade é periódica com período 2\pi: em cada período temos um intervalo de crescimento de comprimento \pi e um de decrescimento de comprimento \pi, deslocados conforme acima.

Passo 7

Classificar os pontos críticos (máximos ou mínimos). Podemos usar o sinal de g' ou a segunda derivada. Calcule a segunda derivada:
g''(x)=-2\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right).
Avalie em x_k=-\frac{\pi}{6}+k\pi:
g''(x_k)=-2\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}+k\pi+\frac{\pi}{6}\right) =-2\cos(k\pi)=-2(-1)^k.
  • Se k é par, (-1)^k=1 e g''(x_k)=-2<0: ponto de máximo local.
  • Se k é ímpar, (-1)^k=-1 e g''(x_k)=2>0: ponto de mínimo local.
Também podemos obter os valores de g nesses pontos reescrevendo g como uma função única:
Como feito antes para a derivada, podemos escrever
g(x)=\sqrt{3}\cos x-\operatorname{sen} x = 2\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right).
Logo:
  • Em x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi (caso k par na fórmula geral), tem-se x+\frac{\pi}{6}=2k\pi e \cos=1, então g\bigl(-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\bigr)=2\cdot 1=2,máximos (valor máximo global 2).
  • Em x=-\frac{\pi}{6}+(2k+1)\pi=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi, tem-se x+\frac{\pi}{6}=(2k+1)\pi e \cos=-1, então g\bigl(\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\bigr)=2\cdot(-1)=-2,mínimos (valor mínimo global -2).
Portanto os extremos são globais também, pois g é uma função contínua e periódica com amplitude 2.

Passo 8

Resumo e forma prática para decorar (útil para prova):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Derivada: g'(x)=-2\operatorname{sen}\!\left(x+\tfrac{\pi}{6}\right).
  • Pontos críticos: x=-\tfrac{\pi}{6}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
  • Monotonicidade:
    • Crescente em \displaystyle\big(\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\;\tfrac{11\pi}{6}+2k\pi\big),\\ k\in\mathbb{Z}.
    • Decrescente em \displaystyle\big(-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi,\;\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\big),\\ k\in\mathbb{Z}.
  • Extremos:
    • Máximos: g\bigl(-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\bigr)=2.
    • Mínimos: g\bigl(\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\bigr)=-2.
Força aí — decorar o procedimento (derivar, reduzir a uma única seno/cosseno, achar zeros e sinal) resolve muita questão de variação trigonométrica.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Pontos críticos: x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
Crescente em \displaystyle\big(\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\;\tfrac{11\pi}{6}+2k\pi\big),\\ k\in\mathbb{Z}.
Decrescente em \displaystyle\big(-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi,\;\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\big),\\ k\in\mathbb{Z}.
Máximos: g\bigl(-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\bigr)=2.
Mínimos: g\bigl(\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\bigr)=-2.

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