Um lembrete importante: se f for derivável em 1 então f é contínua em 1. Porém o contrário não é verdade: uma função pode ser contínua em um ponto e ainda assim não ser derivável ali (ex.: f(x)=|x| em x=0).
Passo 3
Primeiro verificamos a continuidade em x=1 (passo rápido, porque é requisito necessário):
Valor de f em 1: como 1\leq 1, usa-se o primeiro ramo, então f(1)=1^{2}=1.
Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x^{2}=1.
Limite pela direita:
\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(2-x)=2-1=1.
Como os três são iguais, f é contínua em x=1. Mas lembrando: continuidade não garante derivabilidade — é só uma condição necessária.
Passo 4
Agora calculamos a derivada lateral pela esquerda f'_-(1). Para x<1 usamos f(x)=x^{2}. Então
Interpretação: a inclinação do ramo 2-x à direita de 1 é -1.
Passo 6
Comparando as derivadas laterais:
f'_-(1)=2 \quad\text{e}\quad f'_+(1)=-1.
Como f'_-(1)\neq f'_+(1), o limite \lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} não existe. Logo f não é derivável em x=1.
Comentário final amigo: a função é contínua em 1 (isso eu já verifiquei), mas tem “dois declives diferentes” quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita — por isso não dá para definir uma única derivada ali. Isso é exatamente o que acontece também em funções tipo valor absoluto, onde os dois lados têm inclinações diferentes.
Resposta
As derivadas laterais em x=1 são f'_-(1)=2 e f'_+(1)=-1; como são diferentes, f não é derivável em x=1.