Exercício 12. Por que a seguinte função não é derivável em x=1 ?
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x \leq 1 \\\\ 2-x, & \text { se } 1<x\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que a função
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text{se } x \leq 1 \\[4pt] 2-x, & \text{se } 1<x \end{cases}
não é derivável em x=1.
Informações fornecidas:
  • Para x\leq 1 vale f(x)=x^{2}.
  • Para x>1 vale f(x)=2-x.
  • O ponto crítico a verificar é x=1.]

Passo 2

O que significa "ser derivável em x=1"? Vou explicar devagarinho, passo a passo.
Definição de derivada em um ponto: a função f é derivável em x=1 se o limite
\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
existe (finito). Esse limite é a derivada f'(1).
Como a função é dada por pedaços diferentes à esquerda e à direita de 1, é útil trabalhar com as derivadas laterais:
  • a derivada à esquerda em 1 é
f'_-(1)=\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},
isto é, aproximando x de 1 por valores menores que 1;
  • a derivada à direita em 1 é
f'_+(1)=\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},
isto é, aproximando x de 1 por valores maiores que 1.
Para que f'(1) exista é necessário e suficiente que ambos os limites acima existam e sejam iguais:
f'(1)\\ \text{existe} \quad\Longleftrightarrow\quad f'_-(1)=f'_+(1).
Um lembrete importante: se f for derivável em 1 então f é contínua em 1. Porém o contrário não é verdade: uma função pode ser contínua em um ponto e ainda assim não ser derivável ali (ex.: f(x)=|x| em x=0).

Passo 3

Primeiro verificamos a continuidade em x=1 (passo rápido, porque é requisito necessário):
  • Valor de f em 1: como 1\leq 1, usa-se o primeiro ramo, então f(1)=1^{2}=1.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x^{2}=1.
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(2-x)=2-1=1.
Como os três são iguais, f é contínua em x=1. Mas lembrando: continuidade não garante derivabilidade — é só uma condição necessária.

Passo 4

Agora calculamos a derivada lateral pela esquerda f'_-(1). Para x<1 usamos f(x)=x^{2}. Então
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Fatorando o numerador:
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 \quad\text{para } x\neq 1.
Tomando o limite quando x\to 1^-:
f'_-(1)=\lim_{x\to 1^-}(x+1)=1+1=2.
Interpretação: a inclinação do ramo x^{2} ao se aproximar de 1 pela esquerda é 2.

Passo 5

Agora a derivada lateral pela direita f'_+(1). Para x>1 usamos f(x)=2-x. Então
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(2-x)-1}{x-1}=\frac{1-x}{x-1}.
Note que \dfrac{1-x}{x-1}=-1 para todo x\neq 1. Portanto
f'_+(1)=\lim_{x\to 1^+}\frac{1-x}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}(-1)=-1.
Interpretação: a inclinação do ramo 2-x à direita de 1 é -1.

Passo 6

Comparando as derivadas laterais:
f'_-(1)=2 \quad\text{e}\quad f'_+(1)=-1.
Como f'_-(1)\neq f'_+(1), o limite \lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} não existe. Logo f não é derivável em x=1.
Comentário final amigo: a função é contínua em 1 (isso eu já verifiquei), mas tem “dois declives diferentes” quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita — por isso não dá para definir uma única derivada ali. Isso é exatamente o que acontece também em funções tipo valor absoluto, onde os dois lados têm inclinações diferentes.

Resposta

As derivadas laterais em x=1 são f'_-(1)=2 e f'_+(1)=-1; como são diferentes, f não é derivável em x=1.

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