Exercício 7. Um tanque de mistura em uma planta piloto contém inicialmente 500 kg de uma solução salina. Devido a uma falha em uma válvula de saída, a massa de solução no tanque, M(t) (em kg), começa a diminuir de acordo com a função:
M(t)=500-20 t-t^{2}
onde t é o tempo em minutos decorridos após a falha ( 0 \leq t \leq 10 ).
(a) Determine a taxa de variação média da massa no intervalo entre t=0 e t=2 minutos.
(b) Usando a definição de derivada, determine a taxa de variação instantânea da massa no instante t=2 minutos.
(c) Interprete o significado físico do sinal negativo encontrado no resultado e indique a unidade de medida da taxa obtida.

Passo 1

O enunciado dá a massa de solução no tanque como função do tempo:
M(t)=500-20t-t^{2},
com t em minutos e 0\le t\le 10. As perguntas são:
(a) determinar a taxa de variação média da massa no intervalo entre t=0 e t=2 minutos;
(b) usando a definição de derivada, determinar a taxa de variação instantânea da massa no instante t=2 minutos;
(c) interpretar fisicamente o sinal negativo encontrado e indicar a unidade da taxa obtida.

Passo 2

Entender o que é taxa média: a taxa média de variação de M entre t=a e t=b é a variação de M dividida pelo intervalo de tempo. A fórmula é
\text{taxa média}=\frac{M(b)-M(a)}{b-a}.é
Isto mede, em média, quantos quilogramas por minuto a massa mudou ao longo do intervalo [a,b].

Passo 3

Aplicar a fórmula da taxa média para a=0 e b=2. Primeiro calculo M(0) e M(2):
M(0)=500-20\cdot 0-0^{2}=500,
M(2)=500-20\cdot 2-2^{2}=500-40-4=456.
Agora a taxa média:
\frac{M(2)-M(0)}{2-0}=\frac{456-500}{2}=\frac{-44}{2}=-22.
Portanto a taxa média é -22 (unidades a determinar em seguida).

Passo 4

Explicar a definição de derivada (taxa instantânea): a taxa instantânea de variação de M no instante t=a é a derivada M'(a), definida por
M'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{M(a+h)-M(a)}{h}.
Isto corresponde ao limite da taxa média em torno de a quando o intervalo encolhe até zero. Vamos aplicar essa definição em a=2, como pede o enunciado.

Passo 5

Calcular M'(2) usando a definição. Primeiro escrevo M(2+h):
M(2+h)=500-20(2+h)-(2+h)^{2}.
Desenvolvendo:
-20(2+h)=-40-20h,
(2+h)^{2}=4+4h+h^{2},
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M(2+h)=500+(-40-20h)-(4+4h+h^{2})=500-44-24h-h^{2}=456-24h-h^{2}.
Agora a diferença do quociente de diferença:
\frac{M(2+h)-M(2)}{h}=\frac{(456-24h-h^{2})-456}{h}=\frac{-24h-h^{2}}{h}=-24-h.
Tomando o limite h\to 0:
M'(2)=\lim_{h\to 0}(-24-h)=-24.

Passo 6

Interpretar o sinal e a unidade: o resultado M'(2)=-24 significa que, no instante t=2 minutos, a massa da solução está diminuindo a uma taxa de 24 quilogramas por minuto. O sinal negativo indica diminuição da massa (saída de solução do tanque). A unidade da taxa é \text{kg/min}.

Resposta

(a) -22\\ \text{kg/min}
(b) -24\\ \text{kg/min}
(c) O sinal negativo indica que a massa está diminuindo (solução saindo do tanque); unidade: \text{kg/min}

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