Exercício 7. Um tanque de mistura em uma planta piloto contém inicialmente 500 kg de uma solução salina. Devido a uma falha em uma válvula de saída, a massa de solução no tanque,
(em kg), começa a diminuir de acordo com a função:
onde
é o tempo em minutos decorridos após a falha (
).
(a) Determine a taxa de variação média da massa no intervalo entre
e
minutos.
(b) Usando a definição de derivada, determine a taxa de variação instantânea da massa no instante
minutos.
(c) Interprete o significado físico do sinal negativo encontrado no resultado e indique a unidade de medida da taxa obtida.
(a) Determine a taxa de variação média da massa no intervalo entre
(b) Usando a definição de derivada, determine a taxa de variação instantânea da massa no instante
(c) Interprete o significado físico do sinal negativo encontrado no resultado e indique a unidade de medida da taxa obtida.
Passo 1
O enunciado dá a massa de solução no tanque como função do tempo:
com
em minutos e
. As perguntas são:
(a) determinar a taxa de variação média da massa no intervalo entre e
minutos;
(b) usando a definição de derivada, determinar a taxa de variação instantânea da massa no instante minutos;
(c) interpretar fisicamente o sinal negativo encontrado e indicar a unidade da taxa obtida.
(a) determinar a taxa de variação média da massa no intervalo entre
(b) usando a definição de derivada, determinar a taxa de variação instantânea da massa no instante
(c) interpretar fisicamente o sinal negativo encontrado e indicar a unidade da taxa obtida.
Passo 2
Entender o que é taxa média: a taxa média de variação de
entre
e
é a variação de
dividida pelo intervalo de tempo. A fórmula é
Isto mede, em média, quantos quilogramas por minuto a massa mudou ao longo do intervalo
.
Passo 3
Aplicar a fórmula da taxa média para
e
. Primeiro calculo
e
:
Agora a taxa média:
Portanto a taxa média é
(unidades a determinar em seguida).
Passo 4
Explicar a definição de derivada (taxa instantânea): a taxa instantânea de variação de
no instante
é a derivada
, definida por
Isto corresponde ao limite da taxa média em torno de
quando o intervalo encolhe até zero. Vamos aplicar essa definição em
, como pede o enunciado.
Passo 5
Calcular
usando a definição. Primeiro escrevo
:
Desenvolvendo:
logo
Agora a diferença do quociente de diferença:
Tomando o limite
:
Passo 6
Interpretar o sinal e a unidade: o resultado
significa que, no instante
minutos, a massa da solução está diminuindo a uma taxa de
quilogramas por minuto. O sinal negativo indica diminuição da massa (saída de solução do tanque). A unidade da taxa é
.
Resposta
(a)
(b)
(c) O sinal negativo indica que a massa está diminuindo (solução saindo do tanque); unidade:
(b)
(c) O sinal negativo indica que a massa está diminuindo (solução saindo do tanque); unidade: