Exercício 9. Encontre, usando a definição, a derivada da função abaixo e diga quais são os domínios da função e da sua derivada.
y(x)=x^{3}-4 x+5

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=x^{3}-4x+5 e pede duas coisas:
  • Encontrar a derivada usando a definição de derivada (ou seja, pelo limite do quociente incremental).
  • Dizer os domínios da função y e da sua derivada y'.
Informações fornecidas:
  • A expressão explícita de y(x) é y(x)=x^{3}-4x+5.

Passo 2

Lembrete e definição que vamos usar (explicando peça por peça):
  • A derivada de uma função y(x) no ponto x pela definição é
y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
  • Aqui h representa um pequeno incremento em x. O numerador y(x+h)-y(x) mede quanto a função muda quando x aumenta de h. Dividindo por h obtemos a taxa média de variação; tomando o limite quando h\to0 obtemos a taxa instantânea de variação, que é a derivada.
  • Nossa tarefa é aplicar exatamente essa definição passo a passo.

Passo 3

Calcular y(x+h). Substitui-se x+h no lugar de x em y:
y(x+h)=(x+h)^{3}-4(x+h)+5.
Agora expandimos (x+h)^{3}. Usando a identidade (x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}, temos
y(x+h)=x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}-4x-4h+5.

Passo 4

Formar o numerador do quociente incremental: y(x+h)-y(x).
Sabemos y(x)=x^{3}-4x+5. Subtraindo,
\begin{aligned} y(x+h)-y(x) &= \bigl(x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}-4x-4h+5\bigr) - \bigl(x^{3}-4x+5\bigr)\\\ &= \bigl(x^{3}-x^{3}\bigr) + \bigl(-4x+4x\bigr) + \bigl(5-5\bigr) + 3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}-4h\\\ &= 3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}-4h. \end{aligned}
Observe que muitos termos cancelam (os que não dependem de h): isso é típico e facilita a simplificação.

Passo 5

Colocar o numerador sobre h e simplificar o quociente:
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}-4h}{h}.
Fatorando h do numerador:
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{h\bigl(3x^{2}+3x h+h^{2}-4\bigr)}{h}.
Como h\neq0 na razão (antes de tomar o limite) podemos cancelar h:
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=3x^{2}+3x h+h^{2}-4.

Passo 6

Tomar o limite quando h\to0:
y'(x)=\lim_{h\to0}\bigl(3x^{2}+3x h+h^{2}-4\bigr).
Como os termos que contêm h tendem a zero quando h\to0, temos
y'(x)=3x^{2}+3x\cdot0+0^{2}-4=3x^{2}-4.
Portanto, a derivada encontrada pela definição é y'(x)=3x^{2}-4.

Passo 7

Domínio da função y:
  • y(x) é um polinômio ( x^{3}-4x+5). Polinômios estão definidos para todo número real.
  • Logo o domínio de y é \mathbb{R}.

Passo 8

Domínio da derivada y':
  • A derivada obtida y'(x)=3x^{2}-4 também é um polinômio (de grau 2).
  • Polinômios estão definidos para todo número real.
  • Logo o domínio de y' é \mathbb{R}.

Passo 9

Comentário rápido e de ânimo: deu certo! Usamos a definição passo a passo e vimos que, para polinômios, o processo de expandir, cancelar termos e cancelar um fator h leva direto a um polinômio novamente. Na prova, se precisar economizar tempo, vale lembrar a regra de potência (potência n vira n x^{n-1}), que aqui daria direto 3x^{2} para x^{3} e o termo -4x vira -4, confirmando 3x^{2}-4.

Resposta

y'(x)=3x^{2}-4
Domínio de y: \mathbb{R}
Domínio de y': \mathbb{R}

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