Exercício 9. Encontre, usando a definição, a derivada da função abaixo e diga quais são os domínios da função e da sua derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar a derivada usando a definição de derivada (ou seja, pelo limite do quociente incremental).
- Dizer os domínios da função
e da sua derivada .
Informações fornecidas:
- A expressão explícita de
é .
Passo 2
Lembrete e definição que vamos usar (explicando peça por peça):
- A derivada de uma função
no ponto pela definição é
- Aqui
representa um pequeno incremento em . O numerador mede quanto a função muda quando aumenta de . Dividindo por obtemos a taxa média de variação; tomando o limite quando obtemos a taxa instantânea de variação, que é a derivada. - Nossa tarefa é aplicar exatamente essa definição passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Substitui-se
no lugar de
em
:
Agora expandimos
. Usando a identidade
, temos
Passo 4
Formar o numerador do quociente incremental:
.
Sabemos . Subtraindo,
Sabemos
Observe que muitos termos cancelam (os que não dependem de
): isso é típico e facilita a simplificação.
Passo 5
Colocar o numerador sobre
e simplificar o quociente:
Fatorando
do numerador:
Como
na razão (antes de tomar o limite) podemos cancelar
:
Passo 6
Tomar o limite quando
:
Como os termos que contêm
tendem a zero quando
, temos
Portanto, a derivada encontrada pela definição é
.
Passo 7
Domínio da função
:
-
é um polinômio ( ). Polinômios estão definidos para todo número real. - Logo o domínio de
é .
Passo 8
Domínio da derivada
:
- A derivada obtida
também é um polinômio (de grau 2). - Polinômios estão definidos para todo número real.
- Logo o domínio de
é .
Passo 9
Comentário rápido e de ânimo: deu certo! Usamos a definição passo a passo e vimos que, para polinômios, o processo de expandir, cancelar termos e cancelar um fator
leva direto a um polinômio novamente. Na prova, se precisar economizar tempo, vale lembrar a regra de potência (potência
vira
), que aqui daria direto
para
e o termo
vira
, confirmando
.
Resposta
Domínio de
Domínio de