Exercício 12. Seja f: R R definida por: f(x)=x^2-1. Dê exemplo de um conjunto não vazio B subseteq R tal que
(a) f^-1(B)=varnothing.
(b) f^-1(B) contém apenas um ponto.

Passo 1

O enunciado define a função fcolon RtoR por
f(x)=x^2-1
e pede um conjunto não vazio BsubseteqR tal que
(a) f^-1(B)=varnothing,
(b) f^-1(B) contenha exatamente um ponto.
Vamos usar a noção de imagem e pré-imagem de conjuntos para escolher B.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a imagem de f. Como para todo xinR vale x^2>= 0, temos
f(x)=x^2-1>= -1,
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Im(f) = [-1,infty)

Passo 3

Para que f^-1(B)=varnothing precisamos de um B não vazio que não intersecte Im(f). Por exemplo, podemos escolher
B = -2,
pois -2<-1 e assim -2cap[-1,infty)=varnothing.

Passo 4

De fato,
f^-1(-2) = ,xinRmid f(x)=-2 = ,xinRmid x^2-1=-2 = ,xmid x^2=-1 = varnothing

Passo 5

Para ter exatamente um x em f^-1(B), queremos resolver x^2-1=y com única solução real. A equação
x^2-1=y
tem duas soluções reais distintas sempre que y>-1, nenhuma se y<-1, e uma única se y=-1.

Passo 6

Portanto basta escolher
B = -1
Então
f^-1(-1) = ,xmid x^2-1=-1 = ,xmid x^2=0 = 0,
que é um conjunto com exatamente um ponto.

Resposta

(a) Podemos tomar B=-2, pois então f^-1(B)=varnothing.
(b) Podemos tomar B=-1, pois então f^-1(B)=0, que tem exatamente um ponto.

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