Exercício 12. Seja
definida por:
. Dê exemplo de um conjunto não vazio
tal que
(a)
.
(b)
contém apenas um ponto.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado define a função
por
e pede um conjunto não vazio
tal que
(a) ,
(b) contenha exatamente um ponto.
Vamos usar a noção de imagem e pré-imagem de conjuntos para escolher .
(a)
(b)
Vamos usar a noção de imagem e pré-imagem de conjuntos para escolher
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a imagem de
. Como para todo
vale
, temos
logo
Passo 3
Para que
precisamos de um
não vazio que não intersecte
. Por exemplo, podemos escolher
pois
e assim
.
Passo 4
De fato,
Passo 5
Para ter exatamente um
em
, queremos resolver
com única solução real. A equação
tem duas soluções reais distintas sempre que
, nenhuma se
, e uma única se
.
Passo 6
Portanto basta escolher
Então
que é um conjunto com exatamente um ponto.
Resposta
(a) Podemos tomar
, pois então
.
(b) Podemos tomar , pois então
, que tem exatamente um ponto.
(b) Podemos tomar