Exercício 13. Seja
um função. Mostre que a relação
em
dada por
é um relação de equivalência. Além disso, determine a partição de
determinada por
.
Passo 1
O enunciado define uma função
e a relação
em
por
Queremos mostrar que
é uma relação de equivalência (isto é, reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, descrever a partição de
que ela determina.
Passo 2
Reflexividade. Por definição,
é reflexiva se todo
satisfaz
. Como
é sempre verdadeiro, concluímos que
para todo
. Logo,
é reflexiva.
Passo 3
Simetria.
é simétrica se, sempre que
, então
. Partindo de
temos
. Como igualdade é simétrica, obtemos
e daí
. Logo,
é simétrica.
Passo 4
Transitividade.
é transitiva se, sempre que
e
, então
. Das hipóteses vem
então, por transitividade da igualdade,
o que significa
. Logo,
é transitiva.
Passo 5
Classes de equivalência. Dada uma relação de equivalência, cada elemento
gera a classe
Essa classe agrupa todos os elementos de
que têm a mesma imagem em
.
Passo 6
Partição de
. A família de todas as classes de equivalência
forma uma partição de
. De modo equivalente, podemos indexar essas classes pelos valores de
em que aparecem valores de
:
onde
Resposta
A relação
é de equivalência. A partição de
determinada por
é
ou equivalentemente