Exercício 13. Seja f: A B um função. Mostre que a relação R em A dada por
x R y Leftrightarrow f(x)=f(y)
é um relação de equivalência. Além disso, determine a partição de A determinada por R.

Passo 1

O enunciado define uma função fcolon A to B e a relação R em A por
x ,R, y ;Leftrightarrow; f(x) = f(y)
Queremos mostrar que R é uma relação de equivalência (isto é, reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, descrever a partição de A que ela determina.

Passo 2

Reflexividade. Por definição, R é reflexiva se todo xin A satisfaz x,R,x. Como
f(x)=f(x)
é sempre verdadeiro, concluímos que x,R,x para todo xin A. Logo, R é reflexiva.

Passo 3

Simetria. R é simétrica se, sempre que x,R,y, então y,R,x. Partindo de x,R,y temos f(x)=f(y). Como igualdade é simétrica, obtemos
f(y)=f(x)
e daí y,R,x. Logo, R é simétrica.

Passo 4

Transitividade. R é transitiva se, sempre que x,R,y e y,R,z, então x,R,z. Das hipóteses vem
f(x)=f(y) e f(y)=f(z),
então, por transitividade da igualdade,
f(x)=f(z),
o que significa x,R,z. Logo, R é transitiva.

Passo 5

Classes de equivalência. Dada uma relação de equivalência, cada elemento xin A gera a classe
[x] ;=;,yin A mid y,R,x ;=;,yin A mid f(y)=f(x)
Essa classe agrupa todos os elementos de A que têm a mesma imagem em B.

Passo 6

Partição de A. A família de todas as classes de equivalência [x]mid xin A forma uma partição de A. De modo equivalente, podemos indexar essas classes pelos valores de B em que aparecem valores de f:
l,f^-1(b)mid bin B,;f^-1(b)neqemptysetr,
onde
f^-1(b)=,xin Amid f(x)=b

Resposta

A relação R é de equivalência. A partição de A determinada por R é
[x] = yin Amid f(y)=f(x)mid xin A,
ou equivalentemente
,f^-1(b)mid bin B, f^-1(b)neqemptyset

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