Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos):
A soma de dois vetores soluções de um sistema linear é sempre um vetor solução do sistema.
A soma de dois vetores soluções de um sistema linear é sempre um vetor solução do sistema.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, em qualquer sistema linear, a soma de duas soluções é sempre outra solução. O conteúdo envolvido é o conjunto-solução de um sistema da forma
onde
é uma matriz e
um vetor. Vamos lembrar a propriedade de superposição e distinguir sistemas homogêneos (
) e não-homogêneos (
) para decidir se a soma de soluções se mantém solução.
Passo 2
Se o sistema for homogêneo, isto é,
então o conjunto de soluções é um subespaço vetorial, e todo par de soluções
e
satisfaz
logo
também é solução. Porém, se o sistema for não-homogêneo, ou seja,
ejam
e
duas soluções. Então
que em geral não é igual a
. Assim, em sistemas não-homogêneos a soma de soluções nem sempre é solução.
Passo 3
Contraexemplo concreto: considere o sistema em
Dois vetores soluções são
e
, pois
Porém
e
logo
não satisfaz
. Isso mostra que a soma de duas soluções deixou de ser solução.
Resposta
A sentença é falsa.