Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos):
A soma de dois vetores soluções de um sistema linear é sempre um vetor solução do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, em qualquer sistema linear, a soma de duas soluções é sempre outra solução. O conteúdo envolvido é o conjunto-solução de um sistema da forma
Ax = b,
onde A é uma matriz e b um vetor. Vamos lembrar a propriedade de superposição e distinguir sistemas homogêneos ( b=0) e não-homogêneos ( bneq0) para decidir se a soma de soluções se mantém solução.

Passo 2

Se o sistema for homogêneo, isto é,
Ax = 0,
então o conjunto de soluções é um subespaço vetorial, e todo par de soluções x1 e x2 satisfaz
A(x1+x2) = Ax1 + Ax2 = 0 + 0 = 0,
logo x1+x2 também é solução. Porém, se o sistema for não-homogêneo, ou seja,
Ax = b combneq0,
ejam x1 e x2 duas soluções. Então
A(x1+x2) = Ax1 + Ax2 = b + b = 2b,
que em geral não é igual a b. Assim, em sistemas não-homogêneos a soma de soluções nem sempre é solução.

Passo 3

Contraexemplo concreto: considere o sistema em R^2
x + y = 1
Dois vetores soluções são
v1 = (1,0) e v2 = (0,1), pois
1 + 0 = 1 e 0 + 1 = 1
Porém
v1 + v2 = (1,0) + (0,1) = (1,1)
e
1 + 1 = 2 neq 1,
logo (1,1) não satisfaz x+y=1. Isso mostra que a soma de duas soluções deixou de ser solução.

Resposta

A sentença é falsa.

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