Exercício 8. (D.K. ex. 5.11) Seja uma sequência tal que . Seja uma sequência arbitrária. Definamos as distribuições por
Mostre que existe uma distribuição tal que em .
Passo 1
O enunciado considera duas sequências tal que e qualquer. Para cada definimos a distribuição
O objetivo é mostrar que existe tal que em . Vamos usar o fato de que cada teste tem suporte compacto.
Passo 2
Definimos por
Para ver que isto faz sentido, note que se é compacto e , então existe tal que para todo temos , logo para . Assim a soma é finita e está bem-definida e é linear.
Passo 3
Para verificar a continuidade de , tomemos uma vizinhança básica em : variando em uma família que tende a zero em norma uniforme sobre . Escrevendo
vemos que se varphito0 uniformemente em K, então u(varphi)to0. Logo u é contínua em D(R^n), isto é, uinD'(R^n).
Passo 4
Mostramos agora que em . De fato, para dado com , existe tal que para todo . Então, para ,