Exercício 8. (D.K. ex. 5.11) Seja (aj)j in N subset R^n uma sequência tal que lim j infty|aj|=infty. Seja (cj)j in N subset C uma sequência arbitrária. Definamos as distribuições uk, k in N por
uk:=sumj=1^k cj de<aaj
Mostre que existe uma distribuição u in D^prime(R^n) tal que lim k infty uk=u em D^prime(R^n).

Passo 1

O enunciado considera duas sequências
,(aj)jinNsubsetR^n tal que limjtoinfty|aj|=infty e ,(cj)jinNsubsetC qualquer. Para cada k definimos a distribuição
uk=sumj=1^kcj,de<aaj
O objetivo é mostrar que existe uinD'(R^n) tal que ukto u em D'(R^n). Vamos usar o fato de que cada teste varphiinD(R^n) tem suporte compacto.

Passo 2

Definimos por
Para ver que isto faz sentido, note que se é compacto e , então existe tal que para todo temos , logo para . Assim a soma é finita e está bem-definida e é linear.

Passo 3

Para verificar a continuidade de u, tomemos uma vizinhança básica em D: varphi variando em uma família que tende a zero em norma uniforme sobre K. Escrevendo
|u(varphi)| ;=;l|sumj=1^Ncj,varphi(aj)r| ;<=;l(sumj=1^N|cj|r),maxxin K|varphi(x)|,
vemos que se varphito0 uniformemente em K, então u(varphi)to0. Logo u é contínua em D(R^n), isto é, uinD'(R^n).

Passo 4

Mostramos agora que em . De fato, para dado com , existe tal que para todo . Então, para ,
Isto mostra que para todo , ou seja, em .

Resposta

A distribuição uinD'(R^n) dada por
u(varphi)=sumj=1^inftycj,varphi(aj)
é o limite de uk=sumj=1^kcjde<aaj em D'(R^n).

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