Exercício 8 (D.L.1.12)
Seja A=(cc-mu0 & lambda0 mu0 & -lambda0) in M2(R) escreva sigma0=lambda0+mu0, lambda=lambda0sigma0 e mu=mu0sigma0. Mostre que
a) O polinômio característico da matriz A é pA(xi)=xi^2+sigma0 xi,
b) 0 e -sigma0 são os autovalores de A.
c) ( lambda, mu ) é um autovetor de A associado ao autovalor 0 e que
d) (1,-1) é um autovetor de A associado ao autovalor -sigma0.
Observe que (cclambda & 1 mu & -1)^-1=(cc1 & 1 mu & -lambda) e conclua que
A=(cc lambda & 1 mu & -1 )(cc 0 & 0 0 & -sigma0 )(cc 1 & 1 mu & -lambda )

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = -,mu0 & lambda0 mu0 & -,lambda0
e define sigma0=lambda0+mu0, lambda=tfraclambda0sigma0, mu=tfracmu0sigma0.
O conteúdo que vamos usar é: cálculo de determinante para obter o polinômio característico, solução de sistemas lineares para autovetores e diagonalização por similaridade.

Passo 2

O polinômio característico é
pA(xi)=detl(A-xi Ir) =det! -,mu0-xi & lambda0 mu0 & -,lambda0-xi =( -mu0-xi)(-lambda0-xi)-lambda0,mu0
Expandindo,
(-mu0-xi)(-lambda0-xi) =(xi+mu0)(xi+lambda0) =xi^2+sigma0,xi+mu0lambda0,
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pA(xi) =xi^2+sigma0,xi+mu0lambda0-mu0lambda0 =xi^2+sigma0,xi

Passo 3

As raízes de xi^2+sigma0,xi=0 são
xi(xi+sigma0)=0 Longrightarrow xi=0ouxi=-sigma0
Portanto, 0 e -sigma0 são os autovalores de A.

Passo 4

Para o autovalor
Da primeira equação . Como , podemos escolher
e de fato .

Passo 5

Para o autovalor
Como , temos e , ficando
Isso dá , temos

Passo 6

Montamos a matriz de mudança de base cujas colunas são os autovetores:
M = lambda & 1 mu & -1
Observa-se que
M^-1 =1 & 1 mu & -lambda,
e definindo
Lambda = 0&00&-sigma0,
pela teoria de diagonalização temos A=M,Lambda,M^-1. Verificando diretamente,
M,Lambda =0 & -sigma00 & sigma0, M,Lambda,M^-1 =-mu0 & lambda0 mu0 & -lambda0 =A

Resposta

A =lambda & 1 mu & -1 0 & 00 & -sigma0 1 & 1 mu & -lambda

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