Exercício 7 (D.L.1.11)
Encontre a solução
da equação diferencial linear em
com as condições iniciais dadas:
, onde
.
Encontre a solução
Passo 1
O enunciado pede a solução do sistema linear em
onde
O método que vamos usar é diagonalizar (quando possível) ou, equivalentemente, achar os autovalores e autovetores de
para escrever a solução geral como combinação linear de modos exponenciais.
Passo 2
Para achar os autovalores
de
, montamos o polinômio característico
Igualando a zero,
, temos
ou seja,
Passo 3
Para
resolvemos
:
Escolhendo
, um autovetor correspondente é
Passo 4
Para
resolvemos
:
Escolhendo
, um autovetor é
Passo 5
A solução geral do sistema é
Passo 6
Impondo
temos
Daí o sistema
implica
e
, logo
Passo 7
Substituindo
e
na expressão geral obtemos