Exercício 7 (D.L.1.11)
Encontre a solução x(t)=(x1(t), x2(t)) da equação diferencial linear em R^2 com as condições iniciais dadas:
x^prime=A x, x(0)=(3,0), onde A=(cc0 & 3 1 & -2).

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear em R^2
x'(t)=A,x(t), x(0)=(3,0),
onde
A=0 & 31 & -2
O método que vamos usar é diagonalizar (quando possível) ou, equivalentemente, achar os autovalores e autovetores de A para escrever a solução geral como combinação linear de modos exponenciais.

Passo 2

Para achar os autovalores lambda de A, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det-lambda & 31 & -2-lambda =lambda(lambda+2)-3 =lambda^2+2lambda-3
Igualando a zero, lambda^2+2lambda-3=0, temos
lambda = -2pmraiz4+122 =-2pm42,
ou seja,
lambda1=1, lambda2=-3

Passo 3

Para lambda1=1 resolvemos (A-I)v=0:
(A-I)=-1 & 31 & -3, - v1+3v2=0implies v1=3v2
Escolhendo v2=1, um autovetor correspondente é
v^(1)=31

Passo 4

Para lambda2=-3 resolvemos (A+3I)v=0:
(A+3I)=3 & 31 & 1, 3v1+3v2=0implies v1=-v2
Escolhendo v2=1, um autovetor é
v^(2)=-11

Passo 5

A solução geral do sistema é
x(t) =c1 e^lambda1 t,v^(1) +c2 e^lambda2 t,v^(2) = c1 e^t31 +c2 e^-3t-11

Passo 6

Impondo temos
Daí o sistema
implica e , logo

Passo 7

Substituindo c1 e c2 na expressão geral obtemos
x(t) =34e^t31 -34e^-3t-11 = 94e^t+34e^-3t[6pt] 34e^t-34e^-3t ]

Resposta

x1(t)=94e^t+34e^-3t, x2(t)=34e^t-34e^-3t

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