Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=ln (3 x^2), n=2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira e segunda ordem de f(x)=ln(3x^2). Vamos usar a regra da derivada de logaritmo e a regra de potências. Para uma função composta f(x)=ln(u(x)), vale
(f)'(x)=u'(x)u(x)

Passo 2

Aqui u(x)=3x^2, portanto
u'(x)=6x
Aplicando a fórmula da derivada de logaritmo,
f'(x)=u'(x)u(x)=6x3x^2=2x

Passo 3

Para obter a segunda derivada, escrevemos f'(x)=2x^-1 e aplicamos a regra de potência:
l(x^-1r)'=-x^-2
Logo,
f''(x)=2cdot(-1)x^-2=-2x^-2=-2x^2

Resposta

f'(x)=2x, f''(x)=-2x^2

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