Exercício 1.12 Seja uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade
  1. Determine e de modo que
  2. Determine
  3. Determine e .

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta que assume os valores
com probabilidades, respectivamente,
Preciso usar:
  1. a condição de normalização para achar ,
  2. a fórmula de esperança para achar ,
  3. a definição de variância e a propriedade ,
  4. a construção da função de distribuição acumulada e o cálculo de .

Passo 2

Usamos a soma das probabilidades igual a 1:
k+18+k8+k-18+k8 =4k8=1 Longrightarrow k=2

Passo 3

Agora calculamos E[X] em função de m, já com k=2:
E[X] =(m-1)38+m28+(m+3)18+(m+5)28
Somando termos,
E[X] =3m-3+2m+m+3+2m+108 =8m+108 =m+54
Impondo E[X]=tfrac14,
m+54=14 Longrightarrow m=-1

Passo 4

Com e , os valores de são e as probabilidades . Calculamos
Então
Logo

Passo 5

A função de distribuição acumulada F(x)=P(X<= x) é
F(x)= 0, & x< -2, 38, & -2<= x< -1, 58, & -1<= x< 2, 34, & 2<= x< 4, 1, & x>= 4

Passo 6

Para P(2<X<5), os únicos valores de X no intervalo aberto (2,5) são 4, com probabilidade 2/8. Então
P(2<X<5)=28=14

Resposta

(P(2<X<5)=\tfrac{1}{4}.]

Exercícios relacionados