Exercício 1.13 Quais das seguintes funções podem representar a função densidade de probabilidade de uma v.a.:
  1. f(x)=cl4 x-2 x^2 & , 0<x<2 0 & , caso contrário ; á Não
  2. f(x)=cl12 x-6 x^28 & , 0<x<2 0 & , caso contrário á Sim

Passo 1

O enunciado pede determinar, para cada função dada, se ela pode ser uma função densidade de probabilidade. Para isso precisamos checar dois pontos fundamentais:
  1. Não negatividade: f(x)>=0 para todo x.
  2. Normalização:
integral-infty^inftyf(x),dx=1

Passo 2

Analisando
f1(x)= 4x-2x^2,&0<x<2, 0,&caso contrário, á
vemos que para 0<x<2
4x-2x^2=2x(2-x)>=0,
logo a não negatividade está ok. Agora a integral
integral-infty^inftyf1(x),dx =integral0^2(4x-2x^2),dx =l[2x^2-tfrac23x^3r]0^2 =8-tfrac163 =tfrac83neq1
Como a área total vale tfrac83, não satisfaz a normalização.

Passo 3

Analisando
f2(x)= dfrac12x-6x^28,&0<x<2, 0,&caso contrário, á
note que para 0<x<2
dfrac12x-6x^28 =dfrac6x(2-x)8>=0,
então é não negativa. Verificamos a normalização:
integral-infty^inftyf2(x),dx =integral0^212x-6x^28,dx =18l[6x^2-2x^3r]0^2 =18(24-16) =88 =1
Portanto satisfaz ambas as condições.

Resposta

  1. Não
  2. Sim

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