Exercício 1.8 A função de probabilidade da v.a. , que representa o número de imperfeições em cada 10 metros de uma fibra sintética fabricada em rolos contínuos de largura uniforme, é dada por
0 1 2 3 4
0.41 0.16 0.05 0.01
  1. Calcule , justificando. 0,37
  2. Determine a função de distribuição da v.a. .
  3. Calcule . 0,22
  4. Calcule e . 0,88 e 0,846

Passo 1

O enunciado trata de uma v.a. discreta X com possíveis valores em 0,1,2,3,4 e pede:
– Calcular o parâmetro a de normalização;
– Determinar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X<= x);
– Calcular P(1<X<=4);
– Calcular E[X] e ,V[X].
Vamos usar as propriedades de probabilidades de variáveis discretas, soma de probabilidades igual a 1, definição de função de distribuição, soma de probabilidades para intervalos e fórmulas de esperança e variância.

Passo 2

Para determinar a usamos que a soma das probabilidades deve ser 1:
0,41 + a + 0,16 + 0,05 + 0,01 = 1
Somando os termos conhecidos:
0,41 + 0,16 + 0,05 + 0,01 = 0,63,
logo
a = 1 - 0,63 = 0,37

Passo 3

A função de distribuição acumulada é definida por F(x)=P(X<= x). Para cada intervalo de x temos:
Para x<0, F(x)=0.
Para 0<= x<1, F(x)=P(X=0)=0,41.
Para 1<= x<2, F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0,41+0,37=0,78.
Para 2<= x<3, F(x)=0,78+0,16=0,94.
Para 3<= x<4, F(x)=0,94+0,05=0,99.
Para x>=4, F(x)=1.

Passo 4

Para P(1<X<=4) somamos P(X=2)+P(X=3)+P(X=4):
P(1<X<=4)=0,16+0,05+0,01=0,22

Passo 5

Calculemos E[X] e V[X].
Primeiro,
E[X]=sumx=0^4x,P(X=x) =0cdot0,41 + 1cdot0,37 + 2cdot0,16 + 3cdot0,05 + 4cdot0,01 =0,37+0,32+0,15+0,04=0,88
Em seguida,
E[X^2] =sumx=0^4x^2,P(X=x) =0^2cdot0,41 + 1^2cdot0,37 + 2^2cdot0,16 + 3^2cdot0,05 + 4^2cdot0,01 =0,37+0,64+0,45+0,16=1,62
Logo a variância é
V[X]=E[X^2] - l(E[X]r)^2 =1,62 - (0,88)^2 =1,62 - 0,7744 approx0,846

Resposta

  1. a=0,37
Para x<0, F(x)=0.
Para 0<= x<1, F(x)=0,41.
Para 1<= x<2, F(x)=0,78.
Para 2<= x<3, F(x)=0,94.
Para 3<= x<4, F(x)=0,99.
Para x>=4, F(x)=1.
3. P(1<X<=4)=0,22
4. E[X]=0,88 e V[X]approx0,846

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