Exercício 1.9 Seja
  1. Determine os possíveis valores para .
    (a) Determine a função de probabilidade de .
    (b) Calcule
    (c) Calcule e . e

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada de uma v.a. discreta
Queremos (1) achar os valores possíveis de é não decrescente e que , e depois, supondo , (2a) obter a função de probabilidade de , (2b) calcular e (2c) calcular e .

Passo 2

Para F ser não decrescente precisamos de
F(3^-)=tfrac34<= F(3)=tfrack8<= F(4^-)=tfrack8<= F(4)=1
Assim tfrack8>=tfrac34 implica k>=6 e tfrack8<=1 implica k<=8. Logo os possíveis valores de k estão em
6<= k<= 8

Passo 3

Tomando k=7, a função de probabilidade p(x)=P(X=x) é dada pelos saltos de F. Em cada ponto de salto x0 temos
p(x0)=F(x0)-limxto x0^-F(x)
Logo
p(1)=tfrac14-0=tfrac14, p(2)=tfrac34-tfrac14=tfrac12, p(3)=tfrac78-tfrac34=tfrac18, p(4)=1-tfrac78=tfrac18

Passo 4

O evento 2<X<=4 equivale a X=3cupX=4, cujas probabilidades somam
P(2<X<=4)=p(3)+p(4)=tfrac18+tfrac18=tfrac14

Passo 5

Para E[X] e Var(X) calculamos primeiro
E[X]=sumx=1^4x,p(x) =1cdottfrac14+2cdottfrac12+3cdottfrac18+4cdottfrac18 =tfrac178,
E[X^2]=1^2cdottfrac14+2^2cdottfrac12+3^2cdottfrac18+4^2cdottfrac18 =tfrac438
Logo
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 =tfrac438-l(tfrac178r)^2 =tfrac5564

Resposta

  1. 6<= k<=8
    2a. p(1)=tfrac14,;p(2)=tfrac12,;p(3)=tfrac18,;p(4)=tfrac18
    2b. P(2<X<=4)=tfrac14
    2c. E[X]=tfrac178,;Var(X)=tfrac5564

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