Exercício 19. Considere o contexto do Exercício 18.
(a) Determine a matriz de informação de Fisher para os parâmetros \left(\mu, \sigma^{2}\right) e, a partir dela, obtenha a priori não informativa de Jeffreys para ( \mu, \sigma^{2} );
(b) Mostre que a priori de Jeffreys para (\mu, \sigma), que é p(\mu, \sigma) \propto \sigma^{-2}, pode ser obtida a partir da priori de Jeffreys para ( \mu, \sigma^{2} ) (encontrada no item a) utilizando o método do Jacobiano.
Passo 1
Temos uma amostra X_{1},\dots,X_{n} i.i.d. de uma distribuição Normal N(\mu,\sigma^{2}). O enunciado pede (a) calcular a matriz de informação de Fisher para o vetor de parâmetros \bigl(\mu,\sigma^{2}\bigr) e, com ela, obter a priori de Jeffreys p(\mu,\sigma^{2}); (b) mostrar que, ao reparametrizar em (\mu,\sigma), usa-se o Jacobiano para obter a priori de Jeffreys p(\mu,\sigma)\propto\sigma^{-2}.
Passo 2
Escrevemos a log-verossimilhança em função de \mu e \gamma=\sigma^{2}:
que é exatamente a priori de Jeffreys em (\mu,\sigma).
Resposta
(a) I(\mu,\sigma^{2})=\begin{pmatrix}n/\sigma^{2}&0\\\ 0&n/(2\sigma^{4})\end{pmatrix}, logo p(\mu,\sigma^{2})\propto(\sigma^{2})^{-3/2}.
(b) Pela mudança \sigma^{2}\mapsto\sigma com Jacobiano 2\sigma obtém-se p(\mu,\sigma)\propto\sigma^{-2}.