Exercício 19. Considere o contexto do Exercício 18.
(a) Determine a matriz de informação de Fisher para os parâmetros \left(\mu, \sigma^{2}\right) e, a partir dela, obtenha a priori não informativa de Jeffreys para ( \mu, \sigma^{2} );
(b) Mostre que a priori de Jeffreys para (\mu, \sigma), que é p(\mu, \sigma) \propto \sigma^{-2}, pode ser obtida a partir da priori de Jeffreys para ( \mu, \sigma^{2} ) (encontrada no item a) utilizando o método do Jacobiano.

Passo 1

Temos uma amostra X_{1},\dots,X_{n} i.i.d. de uma distribuição Normal N(\mu,\sigma^{2}). O enunciado pede (a) calcular a matriz de informação de Fisher para o vetor de parâmetros \bigl(\mu,\sigma^{2}\bigr) e, com ela, obter a priori de Jeffreys p(\mu,\sigma^{2}); (b) mostrar que, ao reparametrizar em (\mu,\sigma), usa-se o Jacobiano para obter a priori de Jeffreys p(\mu,\sigma)\propto\sigma^{-2}.

Passo 2

Escrevemos a log-verossimilhança em função de \mu e \gamma=\sigma^{2}:
\ell(\mu,\gamma) =-\frac{n}{2}\ln(2\pi\gamma) -\frac{1}{2\gamma}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}.
Calculamos as derivadas segundas esperadas:
\frac{\partial^{2}\ell}{\partial\mu^{2}} =-\frac{n}{\gamma}, \quad \frac{\partial^{2}\ell}{\partial\mu\,\partial\gamma} =0, \quad \frac{\partial^{2}\ell}{\partial\gamma^{2}} =\frac{n}{2\gamma^{2}} -\frac{1}{\gamma^{3}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}.
Tomando expectativa sob o modelo ( \mathbb{E}[(X_{i}-\mu)^{2}]=\gamma) obtemos os elementos da informação de Fisher
I_{\mu\mu} =-\mathbb{E}\bigl[\ell_{\mu\mu}\bigr] =\frac{n}{\gamma}, \quad I_{\mu\gamma} =0, \quad I_{\gamma\gamma} =-\mathbb{E}\bigl[\ell_{\gamma\gamma}\bigr] =\frac{n}{2\gamma^{2}}.

Passo 3

A matriz de Fisher para \theta=(\mu,\gamma) é diagonal:
I(\theta) = \begin{pmatrix} \dfrac{n}{\gamma} & 0 \\[1em] 0 & \dfrac{n}{2\gamma^{2}} \end{pmatrix}.
O determinante é
\det I(\theta) = \frac{n}{\gamma}\,\frac{n}{2\gamma^{2}} = \frac{n^{2}}{2\,\gamma^{3}}.
Logo, a priori de Jeffreys é
p(\mu,\gamma) \;\propto\; \sqrt{\det I(\theta)} \;\propto\; \gamma^{-\tfrac{3}{2}}.
Substituindo \gamma=\sigma^{2}, temos
\boxed{p(\mu,\sigma^{2}) \;\propto\; (\sigma^{2})^{-\tfrac{3}{2}} \;=\; \sigma^{-3}.}]

Passo 4

Agora reparametrizamos usando (\mu,\sigma) com a transformação \gamma=\sigma^{2}. O Jacobiano da transformação (\mu,\gamma)\mapsto(\mu,\sigma) é
\biggl\lvert\frac{\partial(\mu,\gamma)}{\partial(\mu,\sigma)}\biggr\rvert =\bigl\lvert 2\sigma\bigr\rvert =2\sigma.
Aplicando a mudança de variável na densidade
p(\mu,\sigma) =p(\mu,\gamma)\, \Bigl\lvert\frac{\partial(\mu,\gamma)}{\partial(\mu,\sigma)}\Bigr\rvert \;\propto\; \gamma^{-\tfrac32}\,\times2\sigma \;=\; (\sigma^{2})^{-\tfrac32}\,2\sigma \;=\; 2\,\sigma^{-2}.
Portanto, desprezando a constante,
\boxed{p(\mu,\sigma)\;\propto\;\sigma^{-2},}
que é exatamente a priori de Jeffreys em (\mu,\sigma).

Resposta

(a) I(\mu,\sigma^{2})=\begin{pmatrix}n/\sigma^{2}&0\\\ 0&n/(2\sigma^{4})\end{pmatrix}, logo p(\mu,\sigma^{2})\propto(\sigma^{2})^{-3/2}.
(b) Pela mudança \sigma^{2}\mapsto\sigma com Jacobiano 2\sigma obtém-se p(\mu,\sigma)\propto\sigma^{-2}.

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