Exercício 6. Sejam
e
variáveis aleatórias independentes com distribuição comum uniforme
. Sejam
e
. Calcule
coeficiente de correlação entre
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são independentes e uniformes em
. Definimos
e queremos o coeficiente de correlação
. Para isso vamos precisar de
,
,
,
e
.
Passo 2
Como
e
são estatísticas de ordem de duas amostras de Uniform
, sabemos que
Para
temos
Logo
Passo 3
Para calcular
usamos a densidade conjunta nos pontos ordenados:
Então
Dentro do colchete,
logo
Passo 4
Agora
Passo 5
O coeficiente de correlação é
Calculando o denominador:
Portanto