Exercício 6. Sejam \mathrm{X}_{1} e \mathrm{X}_{2} variáveis aleatórias independentes com distribuição comum uniforme [0,1]. Sejam Y_{1}=\min \left\{X_{1}, X_{2}\right\} e Y_{2}=\max \left\{X_{1}, X_{2}\right\}. Calcule o coeficiente de correlação entre Y_{1} e Y_{2}.

Passo 1

O enunciado diz que X_{1} e X_{2} são independentes e uniformes em [0,1]. Definimos
Y_{1}=\min\{X_{1},X_{2}\},\quad Y_{2}=\max\{X_{1},X_{2}\}
e queremos o coeficiente de correlação \rho_{Y_{1},Y_{2}} = \frac{\Cov(Y_{1},Y_{2})}{\sqrt{\Var(Y_{1})\,\Var(Y_{2})}}. Para isso vamos precisar de E[Y_{1}], E[Y_{2}], \Var(Y_{1}), \Var(Y_{2}) e \Cov(Y_{1},Y_{2}).

Passo 2

Como Y_{1} e Y_{2} são estatísticas de ordem de duas amostras de Uniform (0,1), sabemos que
Y_{1}\sim\mathrm{Beta}(1,2),\qquad Y_{2}\sim\mathrm{Beta}(2,1).
Para \mathrm{Beta}(a,b) temos
E[\,\cdot\,]=\frac{a}{a+b},\qquad \Var(\,\cdot\,)=\frac{a\,b}{(a+b)^{2}(a+b+1)}.
Logo
E[Y_{1}] = \frac{1}{1+2} = \tfrac{1}{3}, \quad \Var(Y_{1}) = \frac{1\cdot 2}{3^{2}\cdot 4} = \frac{1}{18},
E[Y_{2}] = \frac{2}{2+1} = \tfrac{2}{3}, \quad \Var(Y_{2}) = \frac{2\cdot 1}{3^{2}\cdot 3} = \frac{2}{27}.

Passo 3

Para calcular E[Y_{1}Y_{2}] usamos a densidade conjunta nos pontos ordenados:
f_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2}) = 2,\quad 0\le y_{1}\le y_{2}\le1.
Então
E[Y_{1}Y_{2}] = \iint_{0\le y_{1}\le y_{2}\le1} y_{1}y_{2}\cdot 2\,dy_{1}dy_{2} =2\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{0}^{y_{2}}y_{1}y_{2}\,dy_{1}\Bigr]dy_{2}.
Dentro do colchete,
\int_{0}^{y_{2}}y_{1}y_{2}\,dy_{1} = y_{2}\,\frac{y_{2}^{2}}{2} = \frac{y_{2}^{3}}{2},
logo
E[Y_{1}Y_{2}] =2\int_{0}^{1}\frac{y_{2}^{3}}{2}\,dy_{2} =\int_{0}^{1}y_{2}^{3}\,dy_{2} =\frac{1}{4}.

Passo 4

Agora
\Cov(Y_{1},Y_{2}) =E[Y_{1}Y_{2}]-E[Y_{1}]\,E[Y_{2}] =\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3} =\frac{1}{4}-\frac{2}{9} =\frac{1}{36}.

Passo 5

O coeficiente de correlação é
\rho_{Y_{1},Y_{2}} =\frac{\Cov(Y_{1},Y_{2})}{\sqrt{\Var(Y_{1})\,\Var(Y_{2})}} =\frac{\tfrac{1}{36}}{\sqrt{\tfrac{1}{18}\cdot\tfrac{2}{27}}}.
Calculando o denominador:
\Var(Y_{1})\,\Var(Y_{2}) =\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{27} =\frac{2}{486} =\frac{1}{243}, \quad \sqrt{\frac{1}{243}}=\frac{1}{9\sqrt{3}}.
Portanto
\rho_{Y_{1},Y_{2}} =\frac{1/36}{1/(9\sqrt{3})} =\frac{9\sqrt{3}}{36} =\frac{\sqrt{3}}{4}.

Resposta

\displaystyle \rho_{Y_{1},Y_{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4}.

Exercícios relacionados