Exercício 2.4.12. As séries dadas a seguir converge ou diverge? Justifique sua resposta!
b) \sum_{k=3}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3} \ln k}

Passo 1

O enunciado pergunta se a série
\sum_{k=3}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k}
converge ou diverge. Informações dadas: o somatório é sobre k=3,4,5,\dots; o termo genérico é \dfrac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k}. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência, com justificativa.

Passo 2

Observação básica sobre o numerador: para todo inteiro k vale
\left|\operatorname{sen}(k)\right|\le 1.
Isto é trivial porque a função seno toma valores entre -1 e 1. Essa desigualdade será usada para estimar o módulo dos termos da série.

Passo 3

Como a série começa em k=3, temos \ln k>0 para todos k\ge 3. Portanto o módulo do termo genérico satisfaz
\left|\frac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k}\right|=\frac{\left|\operatorname{sen}(k)\right|}{k^{3}\ln k}\le\frac{1}{k^{3}\ln k}.
Ou seja, os termos em valor absoluto são majorados por \dfrac{1}{k^{3}\ln k}.

Passo 4

Agora compare \dfrac{1}{k^{3}\ln k} com uma série p-aditiva conhecida. Para k\ge 3 temos \ln k\ge \ln 3, então
\frac{1}{k^{3}\ln k}\le \frac{1}{k^{3}\ln 3}=\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{1}{k^{3}}.
Assim \dfrac{1}{k^{3}\ln k} é menor ou igual a uma constante multiplicada por \dfrac{1}{k^{3}}.

Passo 5

Lembra do teste da série p: a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=3>1, logo a série
\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k^{3}}
converge. (Um modo de ver isso é pelo teste integral: \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-3}\,dx=\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{2}<\infty.)

Passo 6

Pelo que temos,
0\le \left|\frac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k}\right|\le \frac{1}{k^{3}\ln k}\le \frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{1}{k^{3}}.
Como \sum \dfrac{1}{k^{3}} converge e \dfrac{1}{\ln 3} é constante, pelo teste da comparação (comparando com a série convergente \sum \dfrac{1}{k^{3}}) segue que a série de termos positivos \sum \dfrac{1}{k^{3}\ln k} converge. Consequentemente a série de valores absolutos
\sum_{k=3}^{\infty}\left|\frac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k}\right|
converge.

Passo 7

Teorema importante: se uma série \sum a_k satisfaz que \sum |a_k| converge (isto é, converge absolutamente), então \sum a_k converge. Aplicando aqui, como \sum_{k=3}^{\infty}\left|\dfrac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k}\right| converge, a série original \sum_{k=3}^{\infty}\dfrac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k} converge. Em linguagem curta: a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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