Exercício 2.4.12. As séries dadas a seguir converge ou diverge? Justifique sua resposta!
b) \sum_{k=3}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3} \ln k}
converge ou diverge. Informações dadas: o somatório é sobre k=3,4,5,\dots; o termo genérico é \dfrac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k}. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência, com justificativa.
Passo 2
Observação básica sobre o numerador: para todo inteiro k vale
\left|\operatorname{sen}(k)\right|\le 1.
Isto é trivial porque a função seno toma valores entre -1 e 1. Essa desigualdade será usada para estimar o módulo dos termos da série.
Passo 3
Como a série começa em k=3, temos \ln k>0 para todos k\ge 3. Portanto o módulo do termo genérico satisfaz
Assim \dfrac{1}{k^{3}\ln k} é menor ou igual a uma constante multiplicada por \dfrac{1}{k^{3}}.
Passo 5
Lembra do teste da série p: a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=3>1, logo a série
\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k^{3}}
converge. (Um modo de ver isso é pelo teste integral: \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-3}\,dx=\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{2}<\infty.)
Como \sum \dfrac{1}{k^{3}} converge e \dfrac{1}{\ln 3} é constante, pelo teste da comparação (comparando com a série convergente \sum \dfrac{1}{k^{3}}) segue que a série de termos positivos \sum \dfrac{1}{k^{3}\ln k} converge. Consequentemente a série de valores absolutos
Teorema importante: se uma série \sum a_k satisfaz que \sum |a_k| converge (isto é, converge absolutamente), então \sum a_k converge. Aplicando aqui, como \sum_{k=3}^{\infty}\left|\dfrac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k}\right| converge, a série original \sum_{k=3}^{\infty}\dfrac{\operatorname{sen}(k)}{k^{3}\ln k} converge. Em linguagem curta: a série converge absolutamente, logo converge.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.