Exercício 2.4.12. As séries dadas a seguir converge ou diverge? Justifique sua resposta!
c) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k+1}{k^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k+1}{k^{2}}
e pergunta se essa série converge ou diverge. \n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \n
  • O termo geral da série é a_{k}=\frac{k+1}{k^{2}}. \n
  • A soma é feita para k variando de 1 até +\infty. \n
    O que se pede: determinar se a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge (tem soma finita) ou diverge (tende a infinito ou não tem soma finita), com justificativa.

Passo 2

Fazemos uma manipulação algébrica simples do termo geral para enxergarmos componentes conhecidas:
\frac{k+1}{k^{2}}=\frac{k}{k^{2}}+\frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k^{2}}.
Explicando passo a passo: dividimos cada parcela do numerador por k^{2}. Assim \frac{k}{k^{2}}=\frac{1}{k} e \frac{1}{k^{2}} fica igual. Essa identidade vale para todo k\ge1.

Passo 3

Definimos a soma parcial da série original e usamos a decomposição encontrada:
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k^{2}}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k^{2}}\right).
Pela linearidade das somas finitas,
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}=:H_{n}+T_{n},
onde H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} é a soma parcial da série harmônica e T_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}} é a soma parcial da série de termo 1/k^{2}.

Passo 4

Vamos estudar o comportamento de T_{n}. Há um resultado padrão (o teste da série p-) que diz: a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=2>1, portanto
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}
converge. \n
Comentário didático curto sobre por que: pode-se usar o teste integral ou comparar termos com uma integral; também é famoso que essa soma converge e seu valor é \pi^{2}/6, mas o valor numérico não é necessário para concluir a convergência. Assim T_{n} tem limite finito quando n\to\infty.

Passo 5

Agora estudamos H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}, a série harmônica. Vou dar uma prova clássica de que H_{n}\to+\infty quando n\to\infty (ou seja, a série diverge), usando agrupamento por potências de 2:
Escrevemos os termos em blocos:
H_{n}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
Em cada bloco com 2^{m-1} termos (por exemplo \frac{1}{3}+\frac{1}{4} tem 2 termos, o bloco seguinte tem 4 termos, etc.), cada termo do bloco é pelo menos \frac{1}{2^{m}} e há 2^{m-1} tais termos, então a soma desse bloco é pelo menos
2^{m-1}\cdot\frac{1}{2^{m}}=\frac{1}{2}.
Assim, somando os primeiros M blocos obtemos pelo menos
1+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}}_{M-1\\ \text{vezes}}=1+\frac{M}{2}.
Como M pode ser arbitrariamente grande ao aumentar n, fica claro que H_{n} cresce sem limite: H_{n}\to+\infty. Portanto a série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} diverge.

Passo 6

Voltando à nossa soma parcial S_{n}=H_{n}+T_{n}: já sabemos que H_{n}\to+\infty e que T_{n} tem limite finito (vamos chamar T:=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}<+\infty). Então
S_{n}=H_{n}+T_{n}\ge H_{n},
e como H_{n}\to+\infty segue que S_{n}\to+\infty. Em palavras: uma parte da série (a harmônica) já diverge, e somar um termo que converge (a parte 1/k^{2}) não “compensa” a divergência; o conjunto diverge.

Passo 7

Conclusão final, com um comentário prático para a prova: sempre que você conseguir decompor o termo geral em uma soma que contenha uma fração do tipo \frac{1}{k} (ou algo maior, como \frac{c}{k} para c>0), lembre-se que a harmônica diverge; e use o teste p para identificar rapidamente que \sum 1/k^{2} converge. Aqui a presença do termo \frac{1}{k} garante a divergência.

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k+1}{k^{2}} diverge.

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