Exercício 2.4.12. As séries dadas a seguir converge ou diverge? Justifique sua resposta!
a) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos (1 / k)}{k^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(1/k)}{k^{2}}
converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar:
  • O índice vai de k=1 até +\infty.
  • O termo geral é a_k=\dfrac{\cos(1/k)}{k^{2}}.
  • Não há outras restrições ou dados numéricos na questão.

Passo 2

Vou começar explicando um conceito útil: convergência absoluta. Dizemos que uma série \sum a_k converge absolutamente se a série com os valores absolutos \sum |a_k| converge. Um teorema importante (que você precisa lembrar para a prova) é:
\text{se }\sum |a_k| \text{ converge, então } \sum a_k \text{ converge.}ã
Ou seja, convergência absoluta implica convergência. Esse é um caminho seguro porque trabalhar com termos não negativos (os |a_k|) facilita usar comparações.

Passo 3

Vamos estimar |a_k|. Para qualquer número real x vale |\cos x|\le 1. Aplicando com x=1/k temos |\cos(1/k)|\le 1. Portanto
|a_k|=\left|\frac{\cos(1/k)}{k^{2}}\right|=\frac{|\cos(1/k)|}{k^{2}}\le \frac{1}{k^{2}}.
Isso nos dá uma desigualdade simples que relaciona |a_k| com a série \sum \dfrac{1}{k^{2}}.

Passo 4

Agora introduzo o teste que vamos usar: o teste de comparação. Ele diz que, se temos termos não negativos 0\le b_k\le c_k para todo k grande o suficiente e \sum c_k converge, então \sum b_k também converge. Aqui podemos tomar b_k=|a_k| e c_k=\dfrac{1}{k^{2}}. Já mostramos que 0\le |a_k|\le \dfrac{1}{k^{2}}.

Passo 5

Precisamos saber sobre a série \sum \dfrac{1}{k^{2}}. Essa é a famosa série p com p=2:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{p}}
sabe-se (resultado padrão que cai em prova) que converge se, e somente se, p>1. Como aqui p=2>1, a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{2}} converge (este é o caso do problema de Basel; não precisamos do valor exato da soma, só da convergência).

Passo 6

Aplicando o teste de comparação com os resultados dos passos anteriores: como 0\le |a_k|\le \dfrac{1}{k^{2}} para todo k e \sum \dfrac{1}{k^{2}} converge, segue que
\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|=\sum_{k=1}^{\infty} \left|\frac{\cos(1/k)}{k^{2}}\right|
converge. Ou seja, a série original converge absolutamente.

Passo 7

Concluir a resposta da prova: convergência absoluta implica convergência simples. Portanto a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\cos(1/k)}{k^{2}} converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

Exercícios relacionados