Exercício 2.4.11. Considere as séries de números reais \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} tais que 0 \leq a_{n} \leq b_{n}. Além disso, suponha que existe uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua, positiva e decrescente tal que f(n)=b_{n}, \lim _{n \rightarrow+\infty} f(n)=0 e \int_{1}^{+\infty} f(x) d x é convergente. Prove que:
a) a série \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} é convergente.
b) a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é convergente.

Passo 1

O enunciado dá as duas séries de números reais \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} com as desigualdades
0 \leq a_{n} \leq b_{n}\quad\text{para todo }n.
Além disso existe uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que:
\text{\(f\) é contínua, positiva e decrescente,}éí
f(n)=b_{n}\quad\text{para todo }n,
\lim_{n\to+\infty} f(n)=0,
e a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx
é convergente (isto é, tem valor finito).
O que nos pedem:
a) Provar que a série \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} é convergente.
b) Provar que a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é convergente.

Passo 2

Ideia-chave (a explicar): quando temos uma função f positiva e decrescente, os termos f(n) podem ser comparados com as áreas de retângulos sobre os intervalos [n,n+1]. Vou escrever essa comparação de forma precisa e elementar.
Se f é decrescente, então para x\in[n,n+1] vale
f(n+1)\le f(x)\le f(n).
Integrando essa desigualdade em x de n a n+1 obtemos
\int_{n}^{n+1} f(n+1)\,dx \le \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx \le \int_{n}^{n+1} f(n)\,dx.
Como as integrais das constantes valem a constante vezes o comprimento do intervalo (que é 1), isso dá
f(n+1)\le \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx \le f(n).

Passo 3

Somando a desigualdade do Passo 2 para n=1,2,\dots,N obtemos
\sum_{n=1}^{N} f(n+1)\le \int_{1}^{N+1} f(x)\,dx \le \sum_{n=1}^{N} f(n).
A soma à esquerda é \sum_{n=2}^{N+1} f(n). Reescrevendo convenientemente temos duas desigualdades úteis:
\int_{1}^{N+1} f(x)\,dx \le \sum_{n=1}^{N} f(n)
e, para obter um limite superior para \sum_{n=1}^{N} f(n), note que
\sum_{n=1}^{N} f(n) = f(1) + \sum_{n=2}^{N} f(n) \le f(1) + \int_{1}^{N} f(x)\,dx,
pois, para n\ge2, como f é decrescente, em [n-1,n] temos f(x)\ge f(n), logo \int_{n-1}^{n} f(x)\,dx \ge f(n); somando essas desigualdades para n=2,\dots,N \sum_{n=2}^{N} f(n)\le \int_{1}^{N} f(x)\,dx.
Portanto, para todo N\ge1,
\int_{1}^{N+1} f(x)\,dx \le \sum_{n=1}^{N} f(n) \le f(1) + \int_{1}^{N} f(x)\,dx.

Passo 4

Agora usamos a hipótese de convergência da integral. Seja
I:=\int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx < +\infty.
Para todo N temos \int_{1}^{N} f(x)\,dx \le I e \int_{1}^{N+1} f(x)\,dx \le I. Aplicando as desigualdades do Passo 3 obtemos, para todo N,
\sum_{n=1}^{N} f(n) \le f(1) + \int_{1}^{N} f(x)\,dx \le f(1) + I.
Isto mostra que a sequência das somas parciais
S_{N}:=\sum_{n=1}^{N} b_{n} = \sum_{n=1}^{N} f(n)
é limitada superiormente por f(1)+I. Como todos os termos b_n=f(n) são não negativos, a sequência (S_N) é monótona não decrescente. Uma sequência monótona não decrescente e limitada converge (teorema clássico sobre sequências monotônicas). Logo (S_N) converge quando N\to\infty. Isso significa exatamente que a série
\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}
converge. Isso resolve a parte (a).

Passo 5

Agora a parte (b) é direta por comparação: sabemos que 0\le a_n\le b_n para todo n e que a série \sum b_n é convergente (do Passo 4). Para séries com termos não negativos, se \sum b_n converge e 0\le a_n\le b_n então \sum a_n também converge (este é o teste de comparação direta para séries de termos não-negativos). A justificativa é simples: as somas parciais A_N:=\sum_{n=1}^N a_n satisfazem 0\le A_N\le S_N para todo N, onde S_N são as somas parciais de b_n; como S_N tem limite finito, pelos mesmos argumentos de monotonia e limite, A_N também converge quando N\to\infty. Portanto \sum a_n converge.

Resposta

a) A série \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} é convergente.
b) A série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente.

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