Exercício 2.4.11. Considere as séries de números reais
e
tais que
. Além disso, suponha que existe uma função
contínua, positiva e decrescente tal que
é convergente. Prove que:
a) a série
é convergente.
b) a série
é convergente.
a) a série
b) a série
Passo 1
O enunciado dá as duas séries de números reais
e
com as desigualdades
Além disso existe uma função
tal que:
e a integral imprópria
é convergente (isto é, tem valor finito).
O que nos pedem:
a) Provar que a série é convergente.
b) Provar que a série é convergente.
a) Provar que a série
b) Provar que a série
Passo 2
Ideia-chave (a explicar): quando temos uma função
positiva e decrescente, os termos
podem ser comparados com as áreas de retângulos sobre os intervalos
. Vou escrever essa comparação de forma precisa e elementar.
Se
é decrescente, então para
vale
Integrando essa desigualdade em
de
a
obtemos
Como as integrais das constantes valem a constante vezes o comprimento do intervalo (que é
), isso dá
Passo 3
Somando a desigualdade do Passo 2 para
obtemos
A soma à esquerda é
. Reescrevendo convenientemente temos duas desigualdades úteis:
e, para obter um limite superior para
, note que
pois, para
, como
é decrescente, em
temos
, logo
; somando essas desigualdades para
dá
.
Portanto, para todo
,
Passo 4
Agora usamos a hipótese de convergência da integral. Seja
Para todo
temos
e
. Aplicando as desigualdades do Passo 3 obtemos, para todo
,
Isto mostra que a sequência das somas parciais
é limitada superiormente por
. Como todos os termos
são não negativos, a sequência
é monótona não decrescente. Uma sequência monótona não decrescente e limitada converge (teorema clássico sobre sequências monotônicas). Logo
converge quando
. Isso significa exatamente que a série
converge. Isso resolve a parte (a).
Passo 5
Agora a parte (b) é direta por comparação: sabemos que
para todo
e que a série
é convergente (do Passo 4). Para séries com termos não negativos, se
converge e
então
também converge (este é o teste de comparação direta para séries de termos não-negativos). A justificativa é simples: as somas parciais
satisfazem
para todo
, onde
são as somas parciais de
; como
tem limite finito, pelos mesmos argumentos de monotonia e limite,
também converge quando
. Portanto
converge.
Resposta
a) A série
é convergente.
b) A série é convergente.
b) A série