Exercício 2.4.8. Determine x>0 para que a série seja convergente.
h) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k!x^{k}}{k^{k}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x>0 para os quais a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k!\,x^{k}}{k^{k}}
é convergente. Informação dada: o termo geral da série é a_k=\dfrac{k!\,x^{k}}{k^{k}} e estamos interessados em x>0. Não há mais informações adicionais na questão.

Passo 2

Vamos usar um teste que é muito prático para séries com potências e fatoriais: o teste da raiz (teste de Cauchy). Vou explicar o teste certinho para você poder aplicar na prova. Seja uma série \sum a_k com termos positivos. Definimos
L=\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{a_k}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge (porque os termos não tendem a zero suficientemente rápido).
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui todos os a_k são positivos (para x>0), então é seguro aplicar o teste da raiz. A ideia prática é calcular \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{a_k} e comparar com 1.

Passo 3

Calculo a raiz k-ésima do termo geral \displaystyle a_k=\frac{k!\,x^{k}}{k^{k}}. Temos:
\sqrt[k]{a_k}=\sqrt[k]{k!}\,\frac{x}{k}.
Expliquei: tirei a raiz em cada fator; \sqrt[k]{x^{k}}=x e \sqrt[k]{k^{k}}=k. Resta então estudar o comportamento de \sqrt[k]{k!} dividido por k quando k\to\infty.

Passo 4

Para encontrar
\lim_{k\to\infty}\frac{\sqrt[k]{k!}}{k},
é muito útil usar a fórmula de Stirling (vou explicar o que ela diz e por que serve aqui). A formula de Stirling (assintótica) diz que, quando k\to\infty,
k! \sim \sqrt{2\pi k}\left(\frac{k}{e}\right)^{k},
o que significa que o quociente entre k! e o lado direito tende a 1. Agora extraímos a raiz k-ésima:
\sqrt[k]{k!}\sim \sqrt[k]{\sqrt{2\pi k}}\cdot\frac{k}{e}.
Aqui \sqrt[k]{\sqrt{2\pi k}}=(2\pi k)^{1/(2k)} e essa quantidade tende a 1 quando k\to\infty (porque o expoente 1/(2k)\to0). Portanto
\lim_{k\to\infty}\frac{\sqrt[k]{k!}}{k}=\frac{1}{e}.
Em palavras: \sqrt[k]{k!} é aproximadamente \dfrac{k}{e} para k grande, então dividido por k 1/e.

Passo 5

Voltando à expressão da raiz do termo:
\sqrt[k]{a_k}=\sqrt[k]{k!}\,\frac{x}{k},
com o resultado anterior temos
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=\frac{x}{e}.
Pelo teste da raiz: a série converge se \dfrac{x}{e}<1, isto é, se x<e; diverge se \dfrac{x}{e}>1, isto é, se x>e. Ainda resta analisar o caso limítrofe x=e.

Passo 6

Estudo o caso x=e. O termo geral fica
a_k=\frac{k!\,e^{k}}{k^{k}}.
Usando Stirling de novo, para k grande
a_k \sim \sqrt{2\pi k}\left(\frac{k}{e}\right)^{k}\frac{e^{k}}{k^{k}}=\sqrt{2\pi k}.
Ou seja, a_k comporta-se como \sqrt{2\pi k} quando k\to\infty. Em particular \lim_{k\to\infty} a_k=+\infty, logo os termos não tendem a zero — portanto a série diverge no caso x=e (a condição necessária para convergência de uma série é que os termos tendam a zero).

Passo 7

Juntando tudo: para x<e a raiz limite é x/e<1 e a série converge absolutamente; para x>e a raiz limite é x/e>1 e a série diverge; para x=e a série também diverge porque os termos não vão a zero. Como o enunciado exige x>0, a região de convergência positiva é 0<x<e. Força aí — é curtir Stirling e o teste da raiz, que resolvem rapidinho esse tipo de exercício!

Resposta

0<x<e

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