Exercício 2.4.8. Determine
para que a série seja convergente.
h)
.
h)
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
para os quais a série
é convergente. Informação dada: o termo geral da série é
e estamos interessados em
. Não há mais informações adicionais na questão.
Passo 2
Vamos usar um teste que é muito prático para séries com potências e fatoriais: o teste da raiz (teste de Cauchy). Vou explicar o teste certinho para você poder aplicar na prova. Seja uma série
com termos positivos. Definimos
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge (porque os termos não tendem a zero suficientemente rápido). - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui todos ossão positivos (para ), então é seguro aplicar o teste da raiz. A ideia prática é calcular e comparar com 1.
Passo 3
Calculo a raiz
-ésima do termo geral
. Temos:
Expliquei: tirei a raiz em cada fator;
e
. Resta então estudar o comportamento de
dividido por
quando
.
Passo 4
Para encontrar
é muito útil usar a fórmula de Stirling (vou explicar o que ela diz e por que serve aqui). A formula de Stirling (assintótica) diz que, quando
,
o que significa que o quociente entre
e o lado direito tende a
. Agora extraímos a raiz
-ésima:
Aqui
e essa quantidade tende a
quando
(porque o expoente
). Portanto
Em palavras:
é aproximadamente
para
grande, então dividido por
dá
.
Passo 5
Voltando à expressão da raiz do termo:
com o resultado anterior temos
Pelo teste da raiz: a série converge se
, isto é, se
; diverge se
, isto é, se
. Ainda resta analisar o caso limítrofe
.
Passo 6
Estudo o caso
. O termo geral fica
Usando Stirling de novo, para
grande
Ou seja,
comporta-se como
quando
. Em particular
, logo os termos não tendem a zero — portanto a série diverge no caso
(a condição necessária para convergência de uma série é que os termos tendam a zero).
Passo 7
Juntando tudo: para
a raiz limite é
e a série converge absolutamente; para
a raiz limite é
e a série diverge; para
a série também diverge porque os termos não vão a zero. Como o enunciado exige
, a região de convergência positiva é
. Força aí — é curtir Stirling e o teste da raiz, que resolvem rapidinho esse tipo de exercício!