Exercício 12. Três empresas ( \mathrm{A}, \mathrm{B} e C ) operam oleodutos em uma região costeira. Com base em registros históricos, elas são responsáveis por vazamentos na seguinte proporção: a Empresa A é responsável por 50% dos vazamentos, a Empresa B por 30 \% e a Empresa C por 20 \%. Cada tipo de petróleo tem uma "assinatura química"ligeiramente diferente. Análises mostram que:
  • A probabilidade de encontrar uma certa assinatura (traço de enxofre elevado) em um vazamento da Empresa A é de 70%.
  • A probabilidade de encontrar a mesma assinatura em um vazamento da Empresa B é de 40 \%.
  • A probabilidade de encontrar a mesma assinatura em um vazamento da Empresa C é de 10 \%.
Um novo vazamento é detectado e a análise confirma a presença da assinatura de enxofre elevado. Qual a probabilidade de que a Empresa A seja a fonte do vazamento?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade de que a Empresa A seja a fonte do vazamento, dado que a análise confirmou a presença da assinatura de enxofre elevado?”\n
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):\n
A priori (proporção de vazamentos):\n
P(A)=0{,}5 (Empresa A é responsável por 50% dos vazamentos)\n
P(B)=0{,}3 (Empresa B é responsável por 30% dos vazamentos)\n
P\text{(C)}=0{,}2 (Empresa C é responsável por 20% dos vazamentos)\n
Probabilidades de encontrar a assinatura de enxofre elevado em vazamentos de cada empresa:\n
P(S\mid A)=0{,}7 (70% para A)\n
P(S\mid B)=0{,}4 (40% para B)\n
P(S\mid C)=0{,}1 (10% para C)\n
Onde S é o evento “assinatura de enxofre elevado detectada”. O que queremos encontrar é P(A\mid S).

Passo 2

Vamos definir claramente os eventos e o que representam as probabilidades que usaremos:\n
  • A, B, C: eventos “vazamento foi causado pela Empresa A, B ou C”, respectivamente.\n
  • S: evento “assinatura de enxofre elevado foi detectada”.\n
    As probabilidades fornecidas se dividem em duas categorias:\n
  • Probabilidades a priori (antes de observar S): P(A),P(B),P\text{(C)}.\n
  • Probabilidades condicionais (chance de observar S se a empresa for a causadora): P(S\mid A),P(S\mid B),P(S\mid C).\n
    O objetivo é atualizar a crença sobre quem causou o vazamento após observar S: isto é exatamente o cálculo de P(A\mid S).

Passo 3

Agora a fórmula que usamos (forma de Bayes para um evento em uma partição do espaço amostral). A regra de Bayes diz:\n
P(A\mid S)=\dfrac{P(S\mid A)\,P(A)}{P(S)}\n
onde P(S) é a probabilidade total de observar a assinatura S. Para calcular P(S) usamos a regra da probabilidade total sobre a partição \{A,B,C\}:\n
P(S)=P(S\mid A)P(A)+P(S\mid B)P(B)+P(S\mid C)P\text{(C)}.\n
Explicando em palavras: o numerador é “probabilidade de que A tenha vazado e que, nesse caso, a assinatura apareça”; o denominador soma essa mesma quantidade para todas as empresas, dando a chance total de ver a assinatura independentemente da origem.

Passo 4

Calculemos o numerador:\n
P(S\mid A)P(A)=0{,}7\cdot0{,}5=0{,}35.\n
Agora calculemos as contribuições das outras empresas (essas entradas viram parte do denominador):\n
P(S\mid B)P(B)=0{,}4\cdot0{,}3=0{,}12,\n
P(S\mid C)P\text{(C)}=0{,}1\cdot0{,}2=0{,}02.

Passo 5

Somamos para obter P(S):\n
P(S)=0{,}35+0{,}12+0{,}02=0{,}49.\n
Agora aplicamos Bayes:\n
P(A\mid S)=\dfrac{0{,}35}{0{,}49}.\n
Para simplificar a fração, multiplico por 100 para eliminar os decimais e depois simplifico: 0{,}35=35/100 e 0{,}49=49/100, então\n
\dfrac{0{,}35}{0{,}49}=\dfrac{35}{49}.\n
Dividindo numerador e denominador por 7:\n
\dfrac{35}{49}=\dfrac{5}{7}.

Passo 6

Convertemos para decimal e porcentagem para interpretação prática:\n
\dfrac{5}{7}\approx0{,}7142857\ldots\n
Isto é, aproximadamente 71{,}4286\%.\n
Interpretação intuitiva: mesmo antes da assinatura, a Empresa A já era responsável por metade dos vazamentos; como a assinatura é relativamente comum nos vazamentos de A ( 70\%), a observação de S aumenta a probabilidade de A ser a causa — por isso P(A\mid S) sobe para cerca de 71{,}4\%.

Resposta

\dfrac{5}{7}\approx0{,}7142857\\ (\text{ou }71{,}4286\%)

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