Exercício 12. Três empresas (
e C ) operam oleodutos em uma região costeira. Com base em registros históricos, elas são responsáveis por vazamentos na seguinte proporção: a Empresa A é responsável por 50% dos vazamentos, a Empresa B por
e a Empresa C por
. Cada tipo de petróleo tem uma "assinatura química"ligeiramente diferente. Análises mostram que:
- A probabilidade de encontrar uma certa assinatura (traço de enxofre elevado) em um vazamento da Empresa A é de 70%.
- A probabilidade de encontrar a mesma assinatura em um vazamento da Empresa B é de
.
- A probabilidade de encontrar a mesma assinatura em um vazamento da Empresa C é de
.
Um novo vazamento é detectado e a análise confirma a presença da assinatura de enxofre elevado. Qual a probabilidade de que a Empresa A seja a fonte do vazamento?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade de que a Empresa A seja a fonte do vazamento, dado que a análise confirmou a presença da assinatura de enxofre elevado?”\n
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):\n
A priori (proporção de vazamentos):\n
(Empresa A é responsável por 50% dos vazamentos)\n
(Empresa B é responsável por 30% dos vazamentos)\n
(Empresa C é responsável por 20% dos vazamentos)\n
Probabilidades de encontrar a assinatura de enxofre elevado em vazamentos de cada empresa:\n
(70% para A)\n
(40% para B)\n
(10% para C)\n
Onde é o evento “assinatura de enxofre elevado detectada”. O que queremos encontrar é
.
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):\n
A priori (proporção de vazamentos):\n
Probabilidades de encontrar a assinatura de enxofre elevado em vazamentos de cada empresa:\n
Onde
Passo 2
Vamos definir claramente os eventos e o que representam as probabilidades que usaremos:\n
-
, , : eventos “vazamento foi causado pela Empresa A, B ou C”, respectivamente.\n -
: evento “assinatura de enxofre elevado foi detectada”.\n
As probabilidades fornecidas se dividem em duas categorias:\n - Probabilidades a priori (antes de observar
): .\n - Probabilidades condicionais (chance de observar
se a empresa for a causadora): .\n
O objetivo é atualizar a crença sobre quem causou o vazamento após observar: isto é exatamente o cálculo de .
Passo 3
Agora a fórmula que usamos (forma de Bayes para um evento em uma partição do espaço amostral). A regra de Bayes diz:\n
onde
é a probabilidade total de observar a assinatura
. Para calcular
usamos a regra da probabilidade total sobre a partição
:\n
Explicando em palavras: o numerador é “probabilidade de que A tenha vazado e que, nesse caso, a assinatura apareça”; o denominador soma essa mesma quantidade para todas as empresas, dando a chance total de ver a assinatura independentemente da origem.
Passo 4
Calculemos o numerador:\n
Agora calculemos as contribuições das outras empresas (essas entradas viram parte do denominador):\n
Passo 5
Somamos para obter
:\n
Agora aplicamos Bayes:\n
Para simplificar a fração, multiplico por 100 para eliminar os decimais e depois simplifico:
e
, então\n
Dividindo numerador e denominador por
:\n
Passo 6
Convertemos para decimal e porcentagem para interpretação prática:\n
Isto é, aproximadamente
.\n
Interpretação intuitiva: mesmo antes da assinatura, a Empresa A já era responsável por metade dos vazamentos; como a assinatura é relativamente comum nos vazamentos de A ( ), a observação de
aumenta a probabilidade de A ser a causa — por isso
sobe para cerca de
.
Interpretação intuitiva: mesmo antes da assinatura, a Empresa A já era responsável por metade dos vazamentos; como a assinatura é relativamente comum nos vazamentos de A (