Exercício 13. Em uma cidade grande, 70 \% dos moradores apoiam o novo programa de reciclagem. Se um pesquisador entrevistar 8 moradores selecionados aleatoriamente, qual a probabilidade de que pelo menos 7 deles apoiem o programa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A proporção (probabilidade) de um morador apoiar o programa é \,70\%.
  • O pesquisador entrevistará 8 moradores selecionados aleatoriamente.
  • A pergunta: qual a probabilidade de que "pelo menos 7" deles apoiem o programa?
    Ou seja, queremos a probabilidade de que o número de apoiadores entre os 8 seja 7 ou 8.

Passo 2

Vamos escolher um modelo para traduzir o enunciado em contas. Como temos:
  • um número fixo de entrevistas \,8,
  • cada entrevistado pode ser classificado como “apoia” ou “não apoia”,
  • e assumimos que cada entrevista é independente com a mesma probabilidade de sucesso ( \,70\%),
faz sentido modelar o número de apoiadores como uma variável discreta que conta o número de sucessos em n tentativas independentes com probabilidade p de sucesso em cada tentativa. Esse é o cenário clássico que usamos quando queremos calcular “exatamente k sucessos” ou “pelo menos k sucessos” numa amostra fixa. Vou usar esse modelo porque é direto, padrão para esse tipo de problema e rende fórmulas simples para calcular probabilidades.

Passo 3

Hora da aula rápida: a fórmula que usamos chama-se fórmula da distribuição binomial (explico o que cada coisa significa).
  • Denotamos por X a variável que conta quantos dos 8 entrevistados apoiam o programa.
  • n é o número de tentativas/entrevistados: n=8.
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa: p=70\%, ou seja, p=0,7.
  • A probabilidade de “falha” (não apoiar) é 1-p; chamamos isso de q, logo q=1-p=0,3.
A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k entre os n serão os sucessos. A combinação \binom{n}{k} é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
e m! (fatorial) significa m!=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot1. Ex.: 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24. No nosso caso usaremos pouco a conta de fatoriais porque \binom{8}{7} é simples de ver.

Passo 4

Transcrevendo o objetivo para a fórmula: queremos
\Pr(X\ge 7)=\Pr(X=7)+\Pr(X=8).
Agora calculamos cada termo com n=8, p=0,7 e q=0,3.
Primeiro, \Pr(X=7):
\Pr(X=7)=\binom{8}{7}\,p^{7}\,q^{1}.
Calculando a combinação:
\binom{8}{7}=8
porque escolher 7 entre 8 é o mesmo que escolher qual 1 fica de fora (8 escolhas). Então
\Pr(X=7)=8\cdot 0,7^{7}\cdot 0,3.
Para 0,7^{7} podemos calcular passo a passo:
0,7^{2}=0,49,
0,7^{3}=0,49\cdot0,7=0,343,
0,7^{4}=0,343\cdot0,7=0,2401,
0,7^{5}=0,2401\cdot0,7=0,16807,
0,7^{6}=0,16807\cdot0,7=0,117649,
0,7^{7}=0,117649\cdot0,7=0,0823543\\ (\text{aprox.}).
Agora multiplicamos:
8\cdot 0,0823543\cdot 0,3 =8\cdot(0,0823543\cdot 0,3) =8\cdot 0,02470629 =0,19765032.
Portanto
\Pr(X=7)\approx 0,19765032.

Passo 5

Agora \Pr(X=8):
\Pr(X=8)=\binom{8}{8}\,p^{8}\,q^{0}.
Temos \binom{8}{8}=1 e q^{0}=1, então
\Pr(X=8)=0,7^{8}.
Usando o valor anterior,
0,7^{8}=0,7^{7}\cdot0,7\approx 0,0823543\cdot0,7=0,05764801.
Logo
\Pr(X=8)\approx 0,05764801.

Passo 6

Somamos as duas probabilidades para obter “pelo menos 7”:
\Pr(X\ge 7)=\Pr(X=7)+\Pr(X=8)\approx 0,19765032+0,05764801=0,25529833.
Arredondando razoavelmente (por exemplo, quatro casas decimais),
\Pr(X\ge 7)\approx 0,2553,
o que em porcentagem é aproximadamente 25,53\%.

Passo 7

Cheque rápido (intuição): como p=0,7 é relativamente alta, conseguir 7 ou 8 apoiadores em 8 entrevistas não é raro, então uma probabilidade de cerca de 25{,}5\% faz sentido. Força aí — deu trabalho, mas agora você sabe exatamente como montar e calcular esse tipo de problema na prova!

Resposta

0,2553 \;(25,53\%)

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