Exercício 13. Em uma cidade grande,
dos moradores apoiam o novo programa de reciclagem. Se um pesquisador entrevistar 8 moradores selecionados aleatoriamente, qual a probabilidade de que pelo menos 7 deles apoiem o programa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- A proporção (probabilidade) de um morador apoiar o programa é
. - O pesquisador entrevistará
moradores selecionados aleatoriamente. - A pergunta: qual a probabilidade de que "pelo menos
" deles apoiem o programa?
Ou seja, queremos a probabilidade de que o número de apoiadores entre osseja ou .
Passo 2
Vamos escolher um modelo para traduzir o enunciado em contas. Como temos:
- um número fixo de entrevistas
, - cada entrevistado pode ser classificado como “apoia” ou “não apoia”,
- e assumimos que cada entrevista é independente com a mesma probabilidade de sucesso (
),
faz sentido modelar o número de apoiadores como uma variável discreta que conta o número de sucessos em
tentativas independentes com probabilidade
de sucesso em cada tentativa. Esse é o cenário clássico que usamos quando queremos calcular “exatamente k sucessos” ou “pelo menos k sucessos” numa amostra fixa. Vou usar esse modelo porque é direto, padrão para esse tipo de problema e rende fórmulas simples para calcular probabilidades.
Passo 3
Hora da aula rápida: a fórmula que usamos chama-se fórmula da distribuição binomial (explico o que cada coisa significa).
- Denotamos por
a variável que conta quantos dos entrevistados apoiam o programa. -
é o número de tentativas/entrevistados: . -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa: , ou seja, . - A probabilidade de “falha” (não apoiar) é
; chamamos isso de , logo .
A fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
entre os
serão os sucessos. A combinação
é dada por
e
(fatorial) significa
. Ex.:
. No nosso caso usaremos pouco a conta de fatoriais porque
é simples de ver.
Passo 4
Transcrevendo o objetivo para a fórmula: queremos
Agora calculamos cada termo com
,
e
.
Primeiro,
:
Calculando a combinação:
porque escolher 7 entre 8 é o mesmo que escolher qual 1 fica de fora (8 escolhas). Então
Para
podemos calcular passo a passo:
Agora multiplicamos:
Portanto
Passo 5
Agora
:
Temos
e
, então
Usando o valor anterior,
Logo
Passo 6
Somamos as duas probabilidades para obter “pelo menos 7”:
Arredondando razoavelmente (por exemplo, quatro casas decimais),
o que em porcentagem é aproximadamente
.
Passo 7
Cheque rápido (intuição): como
é relativamente alta, conseguir
ou
apoiadores em
entrevistas não é raro, então uma probabilidade de cerca de
faz sentido. Força aí — deu trabalho, mas agora você sabe exatamente como montar e calcular esse tipo de problema na prova!