Use a definição de limite e prove que:
lim substackx 1 y 2(3 x^2+y)=5

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em duas variáveis, que
limsubstackxto1 yto2l(3x^2 + yr)=5
Estamos no contexto de limites em R^2. Precisamos, dado varepsilon>0, encontrar de<a>0 tal que
0<raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a Longrightarrow l|3x^2+y-5r|<varepsilon

Passo 2

Começamos manipulando a diferença:
l|3x^2+y-5r| =l|3x^2+y-3cdot1^2-2r| =l|3(x^2-1)+(y-2)r| <= 3,l|x^2-1r|+l|y-2r|
E como l|x^2-1r|=|x-1|,|x+1|, obtemos
l|3x^2+y-5r|<= 3,|x-1|,|x+1|+l|y-2r|

Passo 3

Para controlar |x+1|, restringimos de<a<=1. Então, sempre que
raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a<=1
temos |x-1|<1, logo |x|<2 e portanto
|x+1|<=|x|+1<2+1=3
Assim
l|3x^2+y-5r|<= 3cdot|x-1|cdot3 + |y-2| =9,|x-1| + |y-2| <= 9de<a + de<a =10,de<a
Para garantir 10,de<a<varepsilon, basta escolher
de<a = minl1,;tfracvarepsilon10r

Passo 4

Dado varepsilon>0, seja
de<a = minl1,;tfracvarepsilon10r
Se 0<raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a então, pelos passos anteriores,
l|3x^2+y-5r|<=10,de<a<=10cdot(varepsilon/10)=varepsilon.
Isso conclui a prova de que
limsubstackxto1 yto2(3x^2+y)=5.

Resposta

Escolha de<a = minl1,tfracvarepsilon10r.

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