Use a definição de limite e prove que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em duas variáveis, que
Estamos no contexto de limites em
. Precisamos, dado
, encontrar
tal que
Passo 2
Começamos manipulando a diferença:
E como
l|x^2-1r|=|x-1|,|x+1| , obtemos
Passo 3
Para controlar
|x+1| , restringimos
de<a<=1 . Então, sempre que
temos
|x-1|<1 , logo
|x|<2 e portanto
Assim
Para garantir
10,de<a<varepsilon , basta escolher
Passo 4
Dado
varepsilon>0 , seja
Se
0<raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a então, pelos passos anteriores,
l|3x^2+y-5r|<=10,de<a<=10cdot(varepsilon/10)=varepsilon .
Isso conclui a prova de que
limsubstackxto1 yto2(3x^2+y)=5 .
Isso conclui a prova de que
Resposta
Escolha
de<a = minl1,tfracvarepsilon10r .