Para cada função abaixo mostre que f não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (determinando as derivadas laterais) e, depois, geometricamente (exibindo o esboço gráfico de f e localizando as quinas no gráfico).
f(x)=|x^2-1|, x=-1 e x=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=lvert x^2-1rvert
não é suave (não é diferenciável) nos pontos x=-1 e x=1.
Conteúdo: diferenciabilidade de funções definidas por partes.
Estratégia:
1. Escrever f como função por partes segundo o sinal de x^2-1.
2. Calcular as derivadas laterais em x=-1 e em x=1.
3. Mostrar que elas são diferentes, logo f' não existe nesses pontos.
4. Fazer o esboço qualitativo do gráfico de f e localizar as quinas em x=pm1.

Passo 2

Escrevemos
lvert x^2-1rvert= x^2-1, & x^2-1>=0;Leftrightarrow;|x|>=1, -(x^2-1)=1-x^2, & x^2-1<0;Leftrightarrow;|x|<1
Logo
f(x)= x^2-1, & |x|>=1, 1-x^2, & |x|<1

Passo 3

Para x>1 ou x<-1 temos f(x)=x^2-1 e
f'(x)=2x
Para -1<x<1 temos f(x)=1-x^2 e
f'(x)=-2x

Passo 4

Em x=1:
- derivada pela esquerda:
f'-(1)=limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-(-2x)|x=1= -2,
- derivada pela direita:
f'+(1)=limhto0^+f(1+h)-f(1)h =limhto0^+(2x)|x=1= 2
Como f'-(1)=-2neq2=f'+(1), f não é diferenciável em x=1.

Passo 5

Em x=-1:
- derivada pela esquerda ( x<-1): f'(x)=2xRightarrow f'l(-1r)=2cdot(-1)=-2.
- derivada pela direita ( -1<x<1): f'(x)=-2xRightarrow f'+l(-1r)=-2cdot(-1)=2.
Como -2neq2, f não é diferenciável em x=-1.

Passo 6

Geometricamente, o gráfico de f é:
  • Para |x|<1, uma parábola voltada para baixo y=1-x^2 com vértice em (0,1).
  • Para |x|>1, duas “pernas” de parábola voltadas para cima y=x^2-1, que se encontram com a parte de cima em (pm1,0).
    Em (pm1,0) aparecem quinas (cantos agudos) pois a inclinação à esquerda e à direita desses pontos difere.

Resposta

f não é suave em x=-1 e x=1 pois as derivadas laterais nesses pontos são diferentes, o que corresponde geometricamente às quinas no gráfico em (pm1,0).

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