Para cada função abaixo mostre que não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (determinando as derivadas laterais) e, depois, geometricamente (exibindo o esboço gráfico de e localizando as quinas no gráfico). e x=1
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=lvert x^2-1rvert
não é suave (não é diferenciável) nos pontos x=-1 e x=1.
Conteúdo: diferenciabilidade de funções definidas por partes.
Estratégia: 1. Escrever f como função por partes segundo o sinal de x^2-1. 2. Calcular as derivadas laterais em x=-1 e em x=1. 3. Mostrar que elas são diferentes, logo f' não existe nesses pontos. 4. Fazer o esboço qualitativo do gráfico de f e localizar as quinas em x=pm1.
Como f'-(1)=-2neq2=f'+(1), f não é diferenciável em x=1.
Passo 5
Em x=-1:
- derivada pela esquerda (x<-1): f'(x)=2xRightarrow f'l(-1r)=2cdot(-1)=-2.
- derivada pela direita (-1<x<1): f'(x)=-2xRightarrow f'+l(-1r)=-2cdot(-1)=2.
Como -2neq2, f não é diferenciável em x=-1.
Passo 6
Geometricamente, o gráfico de f é:
Para |x|<1, uma parábola voltada para baixo y=1-x^2 com vértice em (0,1).
Para |x|>1, duas “pernas” de parábola voltadas para cima y=x^2-1, que se encontram com a parte de cima em (pm1,0).
Em (pm1,0) aparecem quinas (cantos agudos) pois a inclinação à esquerda e à direita desses pontos difere.
Resposta
f não é suave em x=-1 e x=1 pois as derivadas laterais nesses pontos são diferentes, o que corresponde geometricamente às quinas no gráfico em (pm1,0).