Exercício 1.12.3. Utilizando os limites fundamentais, calcule os limites:
lim x +infty x^2 ln [x^2+4x^2+1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty x^2lngl[x^2+4x^2+1gr]
O conteúdo principal envolve limites fundamentais e a aproximação de ln(1+u) quando uto0.

Passo 2

Reescrevemos a razão dentro do logaritmo como
x^2+4x^2+1 ;=;1+3x^2+1

Passo 3

Definimos
u = 3x^2+1,
de modo que queremos
limxto+infty x^2ln(1+u),
sabendo que, à medida que xto+infty, temos uto0.

Passo 4

Usamos a expansão
ln(1+u)=u-u^22+o(u^2),
o que dá
x^2ln(1+u) = x^2l(u-tfracu^22+o(u^2)r) = x^2u ;-;x^2u^22 ;+;x^2,o(u^2)
Agora,
x^2u = 3x^2x^2+1;longrightarrow;3, x^2u^2 = 9,x^2(x^2+1)^2sim9x^2;longrightarrow;0,
e x^2,o(u^2)to0.

Passo 5

O único termo que permanece no limite é x^2uto3; os demais tendem a zero. Portanto,
limxto+infty x^2lnl[x^2+4x^2+1r] = 3

Resposta

3

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