Problema 3. Multiplicadores de Lagrange

O objetivo aqui é demonstrar a desigualdade de Hölder usando multiplicadores de Lagrange.
i) Mostre que M:=(x, y) ; x>0, y>0, x y=1 é uma hiperfície de R^2.
ii) Ache o ponto de mínimo da função f: R^2 R restrita a M, em que f é dada por f(x, y)=1p x^p+1q y^q, p>0, q>0 e 1p+1q=1. Conclua que, se x y=1 e x e y são positivos, então 1 <= 1p x^p+1q y^q.
iii) Use o resultado do item ii) para provar que x y <= 1p x^p+1q y^q se x>0 e y>0.
iv) Use o resultado do item iii) e mostre que, se u=(u1, ldots, un) in R^n e v=(v1, ldots, vn) in R^n, então
|sumj=1^n uj vj| <=(sumj=1^n|uj|^p)^1p(sumj=1^n|vj|^q)^1q

Passo 1

O enunciado está em quatro partes e usa o método de multiplicadores de Lagrange para chegar em uma desigualdade de Young e daí em Hölder. Precisamos de:
  • Mostrar que M=(x,y)inR^2mid x>0,;y>0,;xy=1 é uma superfície regular.
  • Encontrar o mínimo de
f(x,y)=1p,x^p+1q,y^q
sujeito a xy=1, com p>0, q>0 e tfrac1p+tfrac1q=1.
  • Deste mínimo deduzir a desigualdade de Young
xy<=1p,x^p+1q,y^q,
para x>0,y>0.
  • Por fim usar Young termo a termo para obter H"older em R^n.

Passo 2

Definimos g(x,y)=xy-1. Então M=g^-1(0)capx>0,y>0. Vemos
nabla g(x,y)=(y,;x),
que nunca é o vetor zero quando x>0,y>0. Logo 0 é valor regular de g e M é superfície regular de dimensão 1 em R^2.

Passo 3

Para achar extremos de
isto é
Da primeira vem , . Da segunda vem , e com obtemos . Igualando dá , ou . Mas implica , então e, como , temos . Logo .

Passo 4

No ponto (1,1) vale
f(1,1)=1pcdot1^p+1qcdot1^q=1p+1q=1
Como este é o único crítico e a fronteira de M não contribui (é vazia em x,y>0), concluímos
mínMf=1, í
ou seja, sempre que x>0,y>0 e xy=1 vale
1<=1p,x^p+1q,y^q

Passo 5

Para libertar a condição xy=1 e obter a forma geral de Young, tomamos x,y>0 quaisquer e definimos
a=x,(xy)^-tfrac1p, b=y,(xy)^-tfrac1q
Então
ab =x,y,(xy)^-tfrac1p-tfrac1q =(xy),(xy)^-1=1
Pelo item anterior,
1<=1p,a^p+1q,b^q =1p,x^p,(xy)^-1+1q,y^q,(xy)^-1
Multiplicando ambos os lados por xy segue
xy<=1p,x^p+1q,y^q,
que é a desigualdade de Young.

Passo 6

Agora vejamos H"older em R^n. Sejam u,vinR^n. Defina
A=sumj=1^n|uj|^p, B=sumj=1^n|vj|^q,
e crie as frações normalizadas
alphaj=|uj|A^1/p, betaj=|vj|B^1/q
Então alphaj,betaj>0 e aplicando Young termo a termo:
alphaj,betaj <=1p,alphaj^p+1q,betaj^q
Somando de j=1 até n
sumj=1^nalphajbetaj <=1psumj=1^nalphaj^p+1qsumj=1^nbetaj^q =1pcdot1+1qcdot1=1
Mas
sumj=1^nalphajbetaj =sumj=1^n|uj|A^1/p;|vj|B^1/q =sumj=1^n|ujvj|A^1/pB^1/q
Logo
sumj=1^n|ujvj| <= A^1/p,B^1/q =l(sumj=1^n|uj|^pr)^1/pl(sumj=1^n|vj|^qr)^1/q
Isto é exatamente a desigualdade de H"older, e como l|sum ujvjr|<=sum|ujvj|, concluímos
l|sumj=1^n ujvjr| <=l(sumj=1^n|uj|^pr)^!1/pl(sumj=1^n|vj|^qr)^!1/q

Resposta

Foi demonstrado que
1. M é superfície regular de R^2.
2. O mínimo de f em M ocorre em (1,1) e vale 1, dando Young para xy=1.
3. Por homogeneidade obtém-se Young geral: xy<=1p,x^p+1q,y^q.
4. Somando Young normalizado chega-se à desigualdade de H"older
l|sumj=1^n ujvjr| <=l(sumj=1^n|uj|^pr)^1/pl(sumj=1^n|vj|^qr)^1/q

Exercícios relacionados