O objetivo aqui é demonstrar a desigualdade de Hölder usando multiplicadores de Lagrange.
i) Mostre que é uma hiperfície de .
ii) Ache o ponto de mínimo da função restrita a , em que é dada por , e . Conclua que, se e e são positivos, então .
iii) Use o resultado do item ii) para provar que se e .
iv) Use o resultado do item iii) e mostre que, se e , então
Passo 1
O enunciado está em quatro partes e usa o método de multiplicadores de Lagrange para chegar em uma desigualdade de Young e daí em Hölder. Precisamos de:
Mostrar que M=(x,y)inR^2mid x>0,;y>0,;xy=1 é uma superfície regular.
Encontrar o mínimo de
f(x,y)=1p,x^p+1q,y^q
sujeito a xy=1, com p>0, q>0 e tfrac1p+tfrac1q=1.
Deste mínimo deduzir a desigualdade de Young
xy<=1p,x^p+1q,y^q,
para x>0,y>0.
Por fim usar Young termo a termo para obter H"older em R^n.
Passo 2
Definimos g(x,y)=xy-1. Então M=g^-1(0)capx>0,y>0. Vemos
nabla g(x,y)=(y,;x),
que nunca é o vetor zero quando x>0,y>0. Logo 0 é valor regular de g e M é superfície regular de dimensão 1 em R^2.
Passo 3
Para achar extremos de
isto é
Da primeira vem , . Da segunda vem , e com obtemos . Igualando dá , ou . Mas implica , então e, como , temos . Logo .
Passo 4
No ponto (1,1) vale
f(1,1)=1pcdot1^p+1qcdot1^q=1p+1q=1
Como este é o único crítico e a fronteira de M não contribui (é vazia em x,y>0), concluímos
mínMf=1, í
ou seja, sempre que x>0,y>0 e xy=1 vale
1<=1p,x^p+1q,y^q
Passo 5
Para libertar a condição xy=1 e obter a forma geral de Young, tomamos x,y>0 quaisquer e definimos
a=x,(xy)^-tfrac1p, b=y,(xy)^-tfrac1q
Então
ab =x,y,(xy)^-tfrac1p-tfrac1q =(xy),(xy)^-1=1
Pelo item anterior,
1<=1p,a^p+1q,b^q =1p,x^p,(xy)^-1+1q,y^q,(xy)^-1
Multiplicando ambos os lados por xy segue
xy<=1p,x^p+1q,y^q,
que é a desigualdade de Young.
Passo 6
Agora vejamos H"older em R^n. Sejam u,vinR^n. Defina
A=sumj=1^n|uj|^p, B=sumj=1^n|vj|^q,
e crie as frações normalizadas
alphaj=|uj|A^1/p, betaj=|vj|B^1/q
Então alphaj,betaj>0 e aplicando Young termo a termo:
Foi demonstrado que 1. M é superfície regular de R^2. 2. O mínimo de f em M ocorre em (1,1) e vale 1, dando Young para xy=1. 3. Por homogeneidade obtém-se Young geral: xy<=1p,x^p+1q,y^q. 4. Somando Young normalizado chega-se à desigualdade de H"older